hola

Probabilidad Condicional, Independencia Estoc´stica
a
Algunos modelos probabil´
ısticos
(Borradores, Curso 23)
Sebastian Grynberg
18-20 de marzo 2013

“No importa lo que yo piense.
Es lo que t´ piensas lo que es relevante.”
u
(Dr. House)

1

´
Indice
1. Probabilidad Condicional
1.1. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. F´rmulade probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.3. Regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
7

2. Independencia estoc´stica
a

10

3. Modelos discretos

11

4. Modelos continuos
4.1. Puntos al azar sobre un segmento. La distribuci´n uniforme
o
4.2. Geometr´ y probabilidad . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
ıa
4.3. Paradoja de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. De las masas puntuales a la masa continua . . . . . . . . .
5. Bibliograf´ consultada
ıa

.
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14
15
17
18
20

2

1.

Probabilidad Condicional

1.1.Probabilidad Condicional

Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad.
Definici´n 1.1 (Probabilidad condicional). Sea A ⊂ Ω un evento de probabilidad positiva.
o
Para cada evento B definimos
P(B|A) :=

P(B ∩ A)
.
P(A)

(1)

La cantidad definida en (1) se llama la probabilidad condicional de B dado que ocurri´ A.
o
Nota Bene (La probabilidad condicional induce una medida deprobabilidad sobre
los eventos aleatorios). Valen las siguientes propiedades:
1. Para cada B ∈ A, P(B|A) ≥ 0;
2. P(Ω|A) = 1;
3. Si los eventos B y C no tienen elementos en com´n, entonces
u
P(B ∪ C|A) = P(B|A) + P(C|A).
4. Para cada sucesi´n decreciente de eventos B1 ⊃ B2 ⊃ · · · tal que
o
l´ n→∞ P(Bn |A) = 0.
ım

∞
n=1 Bn

= ∅ vale que

Comparando las propiedades 1-4 con los axiomas I-IV,se concluye que la funci´n P(·|A) :
o
A → R es una medida de probabilidad sobre los eventos aleatorios. Por lo tanto, todos los
resultados generales referidos a la propiedades de P(·) tambi´n valen para la probabilidad
e
condicional P(·|A).
Ejemplo 1.2. Se lanza un dado equilibrado. Sabiendo que el resultado del dado no super´ al
o
4, cu´l es la probabilidad condicional de haber obtenido un3? Denotando mediante A al
a
evento “el resultado no supera al 4” y mediante B el evento “el resultado es 3”. Tenemos que
P(A) = 4/6, P(B) = 1/6 y P(A ∩ B) = P(A) = 1/6. As´
ı
P(B|A) =

P(B ∩ A)
1/6
1
=
= ,
P(A)
4/6
4

lo que intuitivamente tiene sentido (¿por qu´?).
e
Probabilidad compuesta. De la definici´n de la probabilidad condicional del evento B
o
dado que ocurri´ elevento A resulta inmediatamente la siguiente f´rmula
o
o
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A).
denominada regla del producto.
El siguiente Teorema generaliza la regla del producto (2) y se obtiene por inducci´n.
o

3

(2)

∩n Ai
i=1

A1 ∩ A2 ∩ A3
P(A1 )
A1

P(A2 |A1 )
A2

P(A3 |A2 ∩ A1 )
A3

An−1

n−1
P(An | ∩i=1 Ai )

An

´
Figura 1: Ilustraci´n de la regla del producto. El evento∩n Ai tiene asociada una unica
o
i=1
trayectoria sobre un ´rbol que describe la historia de un experimento aleatorio realizado por
a
etapas sucesivas. Las aristas de esta trayectoria corresponden a la ocurrencia sucesiva de los
eventos A1 , A2 , . . . , An y sobre ellas registramos la correspondiente probabilidad condicional.
El nodo final de la trayectoria corresponde al evento ∩n Ai y suprobabilidad se obtiene multii=1
plicando las probabilidades condicionales registradas a lo largo de las aristas de la trayectoria:
n−1
P(∩n Ai ) = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A2 ∩A1 ) · · · P(An |∩i=1 Ai ). Notar que cada nodo intermedio
i=1
a lo largo de la trayectoria tambi´n corresponde a un evento intersecci´n y su probabilidad se
e
o
obtiene multiplicando las probabilidades condicionales...