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Las distintas técnicas para hallar las potencias naturales de matrices cuadradas. Esta cuestión es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones prácticas. Como se puede observar el cálculo depotencias de matrices cuadradas lleva consigo un número muy elevado de operaciones. Es conveniente encontrar estrategias adecuadas que nos permitan calcular de modo eficiente las potencias naturales dematrices cuadradas.

Potenciación de matrices
1Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define:

A0 = In
A2 = AA
A3 = A2A….

AK = AK-1 A donde k E Z k >= 2

 
Propiedades de lapotenciación de matrices
2 Dada una matriz A cuadrada de orden n, para todo p, q E Z+ se cumplen las siguientes propiedades:

a) Ap Aq = Ap+q
b) (AP)q = Apq

Ejemplo:

Sea A= , Calcular An.


A2= ==


A3 = A2 A = = =

Por lo tanto, se puede demostrar que:


An =


Matrices periódicas, idempotentes, nilpotentes e involutivas.

3Si una matriz cuadrada A es periódica,idempotente, nilpotente o involutiva resulta también muy sencillo calcular las potencias naturales de la matriz A.

Definiciones de matrices periódicas, idempotentes, nilpotentes e involutivas.

Una matrizcuadrada A es periódica si existe P N tal que Ap+1 = A. Además si p es el menor número natural que cumple Ap+1 = A se dice que A es periódica de período P.

Es inmediato comprobar que si A esperiódica de período P se cumple que:

A, A2, A3,…, Ap, Ap+1 = A, Ap+2 = A2, Ap+3 = A3,…


Una matriz cuadrada A es idempotente si:
Una matriz cuadrada A Knxn, se dice que es idempotente si y solo siA2 = A

4Ejemplo:

B =


B =

= = B


Una matriz cuadrada A ∈ Knxn, se dice que es involutiva si y solo si ( In – A) (In + A) = 0.







Matriz Nilpotente.
5Si A esuna matriz cuadrada y Ak = 0 para algún número natural k, se dice que A es nilpotente. Si k es tal que Ak-1 ≠ 0 y Ak = 0, se dice que A es nilpotente de orden k. A continuación mostramos una matriz...