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Dimensión de un esapcio vectorial
Más formalmente la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está biendefinido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión .
La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes:
El máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio.
El mínimo número de vectores que forman un conjuntogenerador para todo el espacio.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL:
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.
Suma de subespacios.
En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espaciovectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).Nota 1
Cuando tenemos dos subespacios vectoriales cuya intersección es el elemento neutrodel espacio vectorial, y efectuamos la operación suma de subespacios, el subespacio resultante se obtiene añadiendo "totalmente" los vectores de uno con los de otro, es decir se realiza una SUMA DIRECTA de subespacios.
Definición
Sea V un espacio vectorial y sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales de V, se define la SUMA DIRECTA de estos subespacios al subespacio  si y sólo si y además 
 
 Ejemplo.
Sean los subespacios vectoriales
 


Se puede observar que W1 representa un plano del espacio y W2 una recta del espacio no coincidente con el plano, pudiéndose comprobar que , y además que Por tanto se puede afirmar que 
 
 
Además en este caso podemos afirmar que W1 y W2 son SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.
 
Es decir, cuando y W=V, es decir la suma directa coincide conel espacio vectorial total, entonces se puede afirmar que los subespacios W1 y W2 sob SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.

Valor propio vector propio 
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Esteescalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en españolcomo propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector yvalor característicos también se utilizan habitualmente.
Otra definición
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.1
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio...