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FRACCIONES ALGEBRAICAS
ÁLVARO SÁNCHEZ VÁSQUEZ

p( x) Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma , donde p(x), q(x) ∈ P(x); q(x) ≠ 0. q( x) El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica Ejemplos: x+5 8 ⎛ 3 ⎞ ( a) ( x ≠ 3) (b ) ⎜ x ≠ − ⎟ x−3 2x + 3 ⎝ 2 ⎠ 2 x − 3y 3x + 4 (c ) (d) 2 ( x ≠ 4, x ≠ − 2) 7 x − 2x − 8
Simplificación de expresionesalgebraicas Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 24a 3 b 3 8a 2 ⋅ 3ab 3 8a 2 (a) = 2 = 21ab 5 7b ⋅ 3ab 3 7b 2 5x − 10y (b) 2x − 4y Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es(x – 2y), entonces: 5x − 10y 5( x − 2y ) 5 = = 2x − 4y 2( x − 2y ) 2

x 2 − 7x + 12 x 2 − 16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)(x − 3)
(c)

x 2 − 16 = ( x + 4)(x − 4) Luego: x 2 − 7x + 12 ( x − 4)(x − 3) x − 3 = = ( x + 4)(x − 4) x + 4 x 2 − 16

x3 − 1 x2 + x + 1 Podemos además factorizar el numerador de lafracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1) Entonces: x3 − 1 ( x − 1)(x 2 + x + 1) = = x −1 x2 + x + 1 ( x 2 + x + 1)
(d) Ejercicios Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas (1)

15a 3 b 2 20ab 4

(2) (4) (6) (8)

7mn 4 p 5 21m 3 np 7

121a 4 c 5 d 7 (3) 11ac 5 d 8 42 (5) 18a + 24b
(7) (9)

8a − 16b 24

14x + 21y 50x + 75y
x2 − x xy − x

27m − 36n 36m − 48n

a2 + 2ab + b 2 3a + 3b

(10)

m2 − n2 m 2 + 2mn + n 2

x 2 − 5x + 6 (11) x 2 − 2x
(13)

3x 2 − 27x + 42 5x 2 − 15x − 140

a3 − b3 (12) 2 a − b2 4p + 2q (14) 2 8p + 8pq + 2q 2 x 3 + 3x 2 − 10x (16) 3 x − 4x 2 + 4x
(18) (20) (22) (24)

m 4 n − m2n3 (15) 3 m n + m2n2
(17) (19) (21) (23)

(8p q ) (16p q )

3 2 4 2 2 3

(12mn ) (18m n)
2

3 3 4

16a 2 + 56ab − 32b 2 2a 2 + 5ab− 3b 2 5am2 x − 5an2 x 5am2 x − 10amnx + 5an2 x m3 − n3 5m 2 + 5mn + 5n 2

ac − ad + bc − bd 2c + 3bc − 2d − 3bd

x4 −1 3x 2 − 3
16x 2 y − 25y 4 x 2 y − 3xy − 10y

(25)

2xa − 4 xb 3ya − 6yb

x( x − 3) 2 ( x − 1) (26) 2 x ( x − 5) 3 ( x − 1) 2

( x − 1) 3 ( x − 5) 4 (27) 2 x ( x − 5) 3 ( x − 1) 2
Amplificación de fracciones

a 2 − ab (28) 4 a − a 2b 2

Toda fracción algebraica sepuede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente Ejemplos: x−3 ( x − 3) • 2 2x − 6 (a) Amplificada por 2, la fracción es = x−2 ( x − 2) • 2 2x − 4 (b) Amplificada por 3am la fracción

5a − 8b (5a − 8b) • 3am 15a 2 m − 24abm , resulta : = 7m − 2n (7m − 2n) • 3am 21am2 − 6amn
8x en un cuadrado perfecto, debemos 3mn

(c) Si sedesea convertir el denominador de la fracción amplificar por 3mn

8x 3mn 24mnx • = 3mn 3mn 9m 2 n2

a+b deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto, debemos a−b (a + b) (a + b) (a + b) 2 amplificar la fracción por (a + b). • = (a − b) (a + b) a 2 − b 2 Ejercicios: Completa el cuadro Fracción Amplificada por Fracción Equivalente 5x2y3 2 xy (1) 3ab 8a2m3n 6ab (2) 7mn a + 3b 3a 2 b 3+ 9ab 4 (3) 7a 2 b 21a 3 b 4
(d) Si en la fracción

17mn 9a 3 x−4 (5) x+7
(4)

102amn 54a 4 x 2 + 11x + 28

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizarcada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Ejemplos. Polinomios factores m.c.m.

9x y 6 xy 4 12x 5 y
x 2 + 5x + 6 x 2 + 6x + 9 x 2 + 3x + 2 x+2 a−b 3b − 3a
a2 − b2
−

2

3 ⋅x ⋅y 2⋅3⋅ x ⋅ y4 22 ⋅ 3 ⋅ x 5 ⋅ y
( x + 2)(x + 3) ( x + 3) 2 ( x + 2)(x + 1) ( x + 2)
( −1) ⋅ (b −...