Hola

 
 GRADO EN CIENCIAS AMBIENTALES
2011-2012
 
ESTADÍSTICA
 
BLOQUE 2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
  
Teoría 4.
Variables aleatorias.

INDICE:

1. Definición general de variable aleatoria.
2. Variables aleatorias discretas y continuas.
3. Características principales asociadas a las variables aleatorias.

DESARROLLO:

1. Variables aleatorias en general.
1.1 Concepto fundamentalde variable aleatoria.

2. Variables aleatorias discretas.
2.1 Variables aleatorias discretas.
2.2 Función puntual de probabilidad.
2.3 Función de distribución.
2.4 Esperanza matemática. Media y varianza.
2.5 Cambio de variable de tipo discreto.

3. Variables aleatorias continuas.
3.1 Variables aleatorias continuas.
3.2 Función de distribución.
3.3 Función de densidad.
3.4 Esperanzamatemática. Media y varianza.
3.5 Cambio de variable de tipo continuo.

2. desarrollo de los contenidos fundamentales

1. Variables aleatorias en general.

1.1 Concepto fundamental de variable aleatoria.

Cuando se estudian experimentos realizados de forma aleatoria, es necesario definir ciertas funciones sobre el espacio de todos los posibles resultados del experimento y con valoresreales, a las cuales se les llama variables aleatorias. Es decir, una variable aleatoria no es otra cosa que una función real que a cada posible realización de un experimento aleatorio le asocia un número real.

Definición 1. Dado el espacio de probabilidad , la función es una variable aleatoria si para cada subconjunto se cumple .

El conjunto de sucesos posibles asociados al espacio deprobabilidad es el dominio de la variable aleatoria X, y el conjunto de valores de la variable es el rango de dicha variable aleatoria.

Ejemplo 1. Si lanzamos una moneda al aire y definimos la v.a. X= ”número de caras obtenidas al tirar dos veces una moneda al aire”, la variable X transforma el espacio muestral Ω={(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)} en el conjunto S={0, 1, 2}. Así, la anti-imagen del intervalo[0,1) será el suceso {(X,X)}, o la del intervalo [1,2] será {(C,C),(C,X),(X,C)}.

2. Variables aleatorias discretas.

2.1 Variables aleatorias discretas.

Atendiendo al rango de una variable aleatoria, se dice que es una variable aleatoria discreta si su rango está definido por un conjunto finito de valores distintos, o por un número infinito numerable (como los números naturales). Si lavariable aleatoria puede tomar todos los valores de un segmento, de una semirrecta (como por ejemplo, los números reales positivos) o de toda una recta real, entonces se dice que la variable aleatoria es continua.

Ejemplo 2. Si queremos analizar la fertilidad de una determinada raza de perros, planteamos la realización de un experimento consistente en el estudio de una gran cantidad de camadas,definiendo una variable aleatoria que a cada camada se le asigna el número de crías de la misma. Si suponemos que el número mínimo de crías de cada camada es 1 y el número máximo 10, la variable aleatoria antes definida será de tipo discreto con rango {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Cada variable aleatoria discreta estará caracterizada principalmente por dos funciones, su función puntual de probabilidad(o función de masa de probabilidad), y su función de distribución, cuyas definiciones y propiedades serán introducidas en las siguientes subsecciones.

2.2 Función puntual de probabilidad.

A cada valor que tome la variable aleatoria le corresponde una probabilidad, que se determina como la masa de probabilidad asociada a su preimagen. Por ejemplo, en el lanzamiento consecutivo de dos dados,al valor 5 de la variable aleatoria que se define como la suma de puntos obtenidos, le corresponde como preimagen el conjunto de resultados del experimento {(4,1), (3,2), (2,3), (1,4)}, de manera que como el número total de posibles resultados es 36, la probabilidad asociada al valor 5 será 4/36, es decir, 1/9. Es evidente que se debe cumplir que la suma de las probabilidades asociadas a todos...