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11.

La Transformada de Laplace

11.1

Introducción.

Hemos visto hasta el momento cómo los conjuntos de funciones exponenciales de exponente imaginario
o funciones armónicas eran bases de los espacios de señales periódicas y aperiódicas continuas. De
hecho, el segundo conjunto de funciones se obtenía a partir del primero pasando de una variable discreta
numerable a una variablecontinua; así,
ª
ª
©
©
¡!
f'(x; m)g = ejm»0 x
m» 0 ! »
¡!
f'(x; » )g = ej»x :
(11.1)
Consideremos ahora la siguiente continuación analítica de la variable real » a la variable compleja s;
» ¡! s = s0 + js00 ;
de forma que el nuevo conjunto de armónicos que se obtendrá será de la forma,
o
n0
00
f'(x; s)g = fesx g = es x ejs x :

(11.2)

(11.3)

Nótese una vez más cómo la variable »2 R; vista como un parámetro descriptivo de cada una de las
funciones del conjunto de base, pasa ahora a ser una variable s 2 C que ha de ser vista también como
un parámetro descritivo del nuevo conjunto de funciones generado y descrito por (11.3). En la Fig. 11.1
se describe la naturaleza de las transformaciones de variable descritas por (11.1) y (11.2).

Figura 11.1. Representación generalde los cambios de variable que dan lugar a
diferentes conjuntos de funciones base en términos de funciones armónicas.

Con esta continuación analítica en mente, habremos de demostrar que el conjunto de funciones en (11.3)
~
es también una base del espacio de funciones S (¡1; 1): Este concepto, analizado de una forma sencilla,
299

~
consistirá en ver si es posible representar cualquierelemento f (x) 2 S (¡1; 1) en términos del nuevo
conjunto de funciones f'(x; s)g ; en la forma descrita en el Cap. 4, (4.20), esto es, a través de algún tipo
de combinación lineal continua1 . A la representación de f (x) en términos de fesx g la denominaremos
como transformada inversa de Laplace; la transformación que de…na los coe…cientes de la combinación
lineal continua anterior será latransformada directa de Laplace, o transformada de Laplace simplemente.
Finalmente, deberemos analizar también la adecuación o no de ese conjunto de funciones desde el punto
de vista de los sitemas lineales (e invariantes). Veremos que, una vez más, dicho conjunto de funciones
~
serán funciones propias para todo sistema descrito por un operador F 2 LI (S ): De este último punto
induciremos enprimer lugar la de…nición de la transformada de Laplace para, seguidamente, analizar
sus propiedades y estudiar la representación de la transformada inversa.

11.2

De…nición y propiedades básicas.

En el Cap. 9, Secc. 9.1, vimos como la de…nición de la transformada de Fourier aparecía de forma natural
al estudiar el análisis en el dominio espectral de comportamiento de un sistema lineal (einvariante) frente
a una señal periódica. Realicemos aquí la misma operación que consistirá en analizar el comportamiento
~
de un sistema modelado por un operador F 2 LI (S ) y caracterizado, por lo tanto, por una respuesta al
impulso h(x); frente al conjunto de funciones f'(x; s)g descrito en (11.3), Fig. 11.2. Así,

~
Figura 11.2. Sistema lineal e invariante identi…cado por el operador F2 LI (S )
frente a: (a) la distribución delta de Dirac; (b) una señal arbitraria f (x); y (c) el
conjunto de funciones base '(x; s) descritas por el parámetro s 2 C:

Z

sx

F ['(x; s)] = F [e ] = '(x; s) ¤ h(x) =
Z
0
es(x¡x ) h(x0 ) dx0 =
=
0
x
Z
0
sx
e¡sx h(x0 ) dx0 =
=e

x0

'(x ¡ x0 ; s)h(x0 ) dx0 =

x0

= esx H (s) = '(x; s)H (s);

(11.4)

expresión que sereduce al producto de la función base considerada2 multiplicada por un factor integral
en la forma,
Z
(11.5)
H (s) = h(x)e¡sx dx:
x

Generalizando este resultado, diremos que el conjunto de funciones f'(x; s)g son funciones propias
~
respecto de F 2 LI (S ); el sistema, por lo tanto, actúa sobre cada una de las funciones modi…cando éstas
por el factor H (s);
F : fesx g ! fH (s)esx g :...