Hola

1. Resolver el sistema 3x-y+3=0 y=x2+2x+2
Sol. 3x-y+3=0→y=3(x+1)
y=x2+2x+1→y=(x+1)2
y=x2+2x+1→y=(x+1)2→y=y29→y1-y9=0→y=0 y=9
Para y=0 x=1 y para y=9 x=2
2. Resolver el sistema x+12=y 3y=4x2-2x+3
Sol. x+12=y→2x+1=2y
3y=4x2-2x+3→3y=2x2x-1+3→3y-3=22y-1y-1
y-13-22y-1=0→y-15-4y=0→y=1 y=54
Para y=1 x=12 y para y=54 x=14
3. Resolver elsistema x-y=3 1x+1y=12
1x+1y=12→2x+y=xy
(x+y)2-(x-y)2=4xy→(xy2)2-9=4xy→x2y2-16xy+64=100
x2y2-16xy+64=100→(xy-8)2=100→xy=8±10→xy=18→x=6 y=3
4. Resolver el sistema x-1=y y2+9=x
Sol. x-1=y→x=y+1→x=(y+1)2
y2+9=x→y2+9=y+12→y+12-y2=9→y+1-yy+1+y=9
2y+1=9→2y=8→y=4
Luego x=25
5. Resolver el sistema mx-ny=m2+n2 mx+ny=(m+n)2-2n2
Sol.mx-ny+2mn=m2+n2+2mn=(m+n)2=mx+ny+2n2
2mn-2n2=2ny→2ny=2nm-n→y=m-n
mx=m2+n2+nm-n→mx=mn+m→x=m+n
6. Resolver el sistema x+y=7 xy=10
Sol. (x+y)2=x2+y2+2xy→49-20=x2+y2→x2+y2=29
Entonces x=5 y=2
6. Resolver el sistema x-2y=2 x2-y2=15
Sol. x-2y=2→x=2(y+1)
x2-y2=15→2y+1-y2y+1+y=15→y+23y+2=15
Tenemos que y=1 satisface la ecuación. Luego x=4
7. ¿Cuál es el número cuya raíz cuadrada y cuyaraíz cúbica difieran en 18?
Sol. Sea x el número. Luego x-3x=18
Sea x=u6. Entonces u3-u2=18→u2u-1=18
Tenemos que u=3 satisface la ecuación. Luego x=36
8. Hallar un número de la forma aabb que tenga raíz cuadrada exacta
Sol. aabb=1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b)
El término 100a+b debe ser de la forma 11x2 . Luego 100a+b=11x2.
Para x=8 se tiene que aabb=77449. Si a+b=a2-b2 y ab>0, mostrar que a>b
Sol. a+b=a2-b2→a+b1-a+b=0
Dado que ab>0→a+b>0 o a+b<0→a+b≠0
Luego 1-a+b=0→a-b=1>0→a-b>0→a>b
10. Dado que x+y=4x-4y y 9x-9y=x+y+1 , hallar y2
Sol. x+y=4x-4y→3x=5y
9x-9y=x+y+1→9x-y=4x-y+1→5x-y=1→5y53-1=1
5y(53-1)=1→2y=35→y2=320
11. Resolver el sistema x+2=y+1 xy+1=x-1y+2
Sol. x+2=y+1→x=y-1 yx-1=y-2
xy+1=x-1y+2→y-1y+1=y-2y+2→1-2y+1=1-4y+2→y+2=2y+1→y=0
Si y=0, x=-1
12. Si x-2=p y x<2, hallar x-p
Sol. x<2→x-2<0→x-2=-(x-2)
Entonces -x-2=p→x-2=-p→x-p=2-2p
13. Resolver x5=1
Sol. Usamos la definición de valor absoluto x=x2
Entonces x5=x10→x10=1→x5-1( x5+1)=0
Luego las soluciones son x=1 y x=-1
14. Resolver la inecuación x-1(x+1)>0Sol. Si x>0 , entonces x=x
Luego x-1x+1>0⇔x-1x+1>0→x∈-∞,-1∪(1,+∞)
Entonces 0,+∞∩1,+∞=(1,+∞) ya que 1,+∞⊂0,+∞
Si x<0 , entonces x=-x
Luego x-1x+1>0⇔-x-1x+1>0⇔-(x+1)2>0 Falso
15. El cuadrado de la suma de dos números consecutivo es 2025. Hallar el mayor de los números
Sol. Sean x y x+1 los números consecutivos
Entonces(x+x+1)2=2025→(2x+1)2=25∙81→2x+1=45→2x=44→x=22
Luego x+1=22+1=23
16. Simplificar a+bb(a-a2a+b)
Sol. a+bba-a2a+b=aa+bb1-aa+b=aa+bba+b-aa+b=aba+bb(a+b)=a
17. Si x2-2x-8=0, hallar el menor valor de 20-2x
Sol. x2-2x-8=0→ x2-2x+1=9→(x-1)2=9→x=1±3
Luego el menor valor de 20-2x es 20-2x=210-x=210-4=12
18. Dado x-y-u=0 y x-2y+3u=0, hallar xy
Sol. x-2y+3u=0→x-2y=-3u=-3x-y→4x=5y→xy=54
19. Dado elsistema x=y+2 y x2+ y2=130, hallar x y y
Sol. x2+ y2=130→x2+ y2+2xy=130+2xy→(x+y)2=2xy+130
Entonces
x+y2-x-y2=4xy→2xy+130-4=4xy→2xy=126→xy=63
Luego x=9 y y=7 satisfacen las ecuaciones
20. Si 2x-3y-z=0 y x+3y-14z=0, calcular el valor de x2+3xyy2+z2
Sol. x+3y-14z=0→x+3y=142x-3y→27x=45y→3x=5y
2x-3y=z→6x-9y=3z→10y-9y=3z→y=3z
Entoncesx2+3xyy2+z2=x2(1+3yx)y2+y29=25y291+95910y2=7
21. Determinar el número de pares de números enteros a,b con a>0 y b>0 tales que a2-7a+b2-7b+2ab=0
Sol. a2-7a+b2-7b+2ab=0→(a+b)2-7a+b=0→a+ba+b-7=0
Como a>0 y b>0, entonces a+b>0. Luego a+b=7
Los pares son 1,6,(2,5) y (3,4)
22. Dado el sistema de ecuaciones xy=6 x2y+xy2+x+y=63, hallar x2+y2
Sol. x2y+xy2+x+y=63→xyx+y+x+y=63→x+yxy+1=63...