homotecia





Te mostraremos otras aplicaciones de la geometría analítica al estudio de varicación de figuras geométricas llamado homotecia. Sin duda, algo ya sabes de ella; si piensas en figuras dibujadas en perspectiva encontrarás allí figuras homotéticas. Además, aplicaremos los principios básicos de la geometría analítica para el cálculo de distancias y temas relacionados con áreas y perímetros yla demostración de algunos teoremas de la geometría.





Antiguamente, los matemáticos se habían dedicado a estudiar y dar respuestas a variados temas matemáticos y a establecer relaciones entre los elementos de dos grandes áreas: los números y las figuras. La aritmética y la geometría habían ido desarrollándose por caminos paralelos, y era impensable poder reunir ambas disciplinas tandistintas en un mismo estudio. Aunque ya en el año 350 a.C un matemático llamado Menecmo había convertido el problema geométrico de construir un cubo con el doble de volumen de otro dado en una ecuación, fue hasta el siglo XVII cuando René Descartes formalizaría uno de los más brillantes aportes a la matemática y su desarrollo. Así lo expresó en su libro llamado “La geometría” que consta de 3 tomos.En el primero de ellos, Descartes dirá: “Y yo no temeré introducir estos términos de aritmética en la geometría, a fin de hacerme más inteligible”. Fue así como Descartes imaginó y formalizó el estudio de la geometría a través del algebra. Si bien es cierto que Descartes solo trabajó con ejes positivos, el dio las bases para que luego matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, entre otros, pudieranutilizarlos para desarrollar lo que hoy conocemos como geométrica analítica, herramienta que sustentaría disciplinas como el cálculo, la geometría infinitesimal y otras que actualmente se estudian.
Otro aporte de los tiempos de Descarte lo hizo Fermat, quien estableció la verdadera relación entre una curva y una ecuación, tema fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, la geometríaanalítica, tal como la conocemos hoy en día, fue desarrollada por el matemático Leonhard Paul Euler.
Pero la geometría analítica no solo ha permitido el desarrollo de ramas más algebraicas o analíticas, también ha permitido el estudio de temas como las transformaciones isométricas. El mirar aquellas transformaciones en el plano como resultantes de operaciones angulares y vectoriales hace que suestudio sea más sencillo y mucho más rico en aplicaciones, que si solo se estudiara bajo un punto de vista geométrico euclidiano.








Una homotecia se define como la transformación de una figura en otra a partir de un punto fijo (centro de homotecia). La homotecia produce amplificaciones o reducciones conservando la forma de la figura. Para realizar una homotecia debemos conocer laspropiedades de ésta.



Cuando la razón de homotecia es positiva y mayor que 1, la figura homotética de la figura original será más grande que ésta y se ubicará en el mismo sentido






Cuando la razón de homotecia es positiva y menor que 1, la figura homotética de la figura original será más pequeña que ésta y se ubicará en el mismo sentido




Cuando la razón de homotecia esmenor que -1, la figura homotética de la figura original será más grande pero la figura experimentará un giro respecto a la original








Cuando la razón de homotecia es negativa y mayor que -1, la figura homotética de la figura original será más pequeña pero la figura experimentará un giro respecto a la original

Cuando el centro de homotecia está unido a uno de los vértices de lafigura original, ambas figuras se unen por dicho vértice

Cuando el centro de homotecia se encuentra dentro de la figura original y la razón es mayor que 1, la figura original estará dentro de su homotecia



Cuando el centro de homotecia se encuentra dentro de la figura original y la razón es menor que 1, la figura homotética estará dentro de la figura original






Una de las tantas...