Homotecia

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1:
Resolver con Geogebra y enviar un documento de Word (versión 2003) con argumentos, explicaciones y síntesis conceptuales elaboradas en cada ítems.
1. a) Aplicar esta composición de homotecias: H (o’; 1/3)  H(o, - 3/2) (ABC) = A’’B’’C’’. ( o  o’)
b) ¿Existe una única homotecia que transforme ABC en A’’B’’C’’? Si la respuesta es afirmativa, encontrar centro y razón.Si es negativa, justificar.
c) ¿Qué ocurre si en la composición planteada en a) se considera un único centro o (o’ = o)? Resolver la situación y escribí tus conclusiones.
d) ¿Qué ocurre si en la composición planteada en a), además de tener el mismo centro, sus razones son recíprocas (es decir, su producto es 1)?
2. De cuerdo a lo que fuiste analizando hasta ahora, anticipá la respuesta antesde resolver geométricamente el problema: ¿La imagen de H (e, 3)  H(e, -½) (efgh), es una ampliación o una reducción? ¿Por qué? Ahora cotejar con tu respuesta anterior con la construcción.
3. Demostrar que para cualquier figura se cumple que: H(o,k)  H(o, k’) (F) = H (o, k.k’) (F)
4. Demostrar que para cualquier figura: H(o,k)  H(o, k-1) (F) = H (o, 1) (F)
5. La Circunferencia de losNueve Puntos: (conocida también como circunferencia de Euler o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800-1834).
El Teorema de Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo XIX. Fue considerado por Coolidge, "el teorema más bello de la geometría elemental que se ha descubierto desde la época de Euclides" (Boyer, 1992, p. 659).
La circunferencia de los nueve puntosde un triángulo, llamada así por J.V. Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:
En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, cuyo radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita.

Para construir la circunferencia de los nuevepuntos, dibuja con el geogebra un triángulo ABC, las tres alturas AA', BB' y CC' y determina el ortocentro H.
Marca ahora los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Y los puntos medios de los segmentos determinados por cada uno de los vértices del triángulo con el ortocentro H.
Verifica que la circunferencia de los nueve puntos es la que pasa por los pies de las tres alturas, los puntos mediosde los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro.
Este teorema fue publicado por primera vez por Poncelet y Brianchon en los Annales de Gergonne en 1820-1821. Sin embargo, la circunferencia de los nueve puntos suele asociarse al matemático alemán Feuerbach quien publicó en 1822 un libro que, además de demostrar que la circunferencia pasa por los nuevepuntos, incluía otras propiedades interesantes:
En esta figura pueden observarse algunas propiedades.
 El centro N de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro H y del circuncentro O. Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.
Otra propiedad:
 La circunferencia de losnueve puntos es tangente tanto a la circunferencia inscrita como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo.
Construye y verifica cada propiedad.

1-a) H (O’; 1/3)  H(O, - 3/2) (ABC) = A’’B’’C’’. ( O  O’)



1-b) H (O’; 1/3)  H(O, - 3/2) (ABC) = H (O’’; 1/3 . - 3/2) (ABC) = A’’B’’C’’
( O  O’  O’’)



Sí, Como puede observase en los gráficos, existe unaúnica homotecia que transforma al triángulo ABC en A’’B’’C’’, siendo la misma una homotecia de centro O’’ distinto de O, determinado por la intersección de las rectas que unen los vértices homólogos de los triángulos ABC y A’’B’’C’’, y razón igual a k . k’, para el ejemplo dado k=1/3 y k’=-3/2. Por lo tanto H (o’; 1/3)  H(o, - 3/2) (ABC) = A’’B’’C’’ es igual a H (o’’; 1/3.-3/2) (ABC) =...