Homotecias

* ¿Qué es una homotecia?
* Homotecia positiva
* Homotecia negativa
* Razón de la homotecia
* ¿Cómo se calcula la homotecia?
* Uso de la homotecia positiva en la vida real
* Uso de la homotecia negativa en la vida real


Materia: Matemáticas
Profesora: Mis Laura Romero
Grado: 3 Grupo: “A”

Homotecia
Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de unpunto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación.
Propiedades
La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:
1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente elbaricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único puntofijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
7. Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).
8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .
9.Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.
Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:
1. todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
2. el cociente delongitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
3. los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
1. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
2. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
3. |k| < 1 implica una reducción.
4. k< 0, la homotecia se puede expresarar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k}, ambas de igual centro. que la homotecia original.

¿Qué es una homotecia positiva?
Es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se encuentra después o antes de la figura trazada. La característica principal es que los segmentos entre las figuras son paralelas.
Lahomotecia positiva o homotecia directa es cuando dos figuras homotéticas quedan situadas en un mismo lado del centro de homotecia.
Determinan la razón que se tome es decir, el factor principal por el cual se multiplica. Para encontrar la razón de homotecia debe colocarse uno a uno cada lado o segmento de las figuras y sacar la constante de proporcionalidad. 

Si k > 0, A y A′ están al mismolado de O, y se dice que la homotecia es directa.
A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.

Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera que:

Al punto P' lo denominaremos homólogo de P.

Ten encuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P.

Homotecia Negativa ó Inversa
Homotecia: amplificación o reducción geométrica que tiene la finalidad de amplificar o reducir una figura para poder darle usos diversos.
* Homotecia negativa es aquella en la cual el centro de homotecia se encuentra entre la figura.

Ejemplo:

Una homotecia estará determinada si disponemos de los...