HUEVOS

Una perspectiva histórica de las series
de Fourier
Seminario de Historia de la Matemática

Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

A. Ca˜ada, Seminario de Historia de la Matem´tica, 04/05
n
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UNA PERSPECTIVA HISTORICA DE LAS SERIES
DE FOURIER: DE LAS ECUACIONES DE ONDAS Y
DEL CALOR A LOS OPERADORES COMPACTOS Y
AUTOADJUNTOS
A.Ca˜ada
n
Departamento de An´lisis Matem´tico
a
a
(Universidad de Granada, 18071, Granada, Espa˜a)
n

1.991 Mathematics Subject Classification: 01-02, 01A50, 01A55,
01A60, 42-03.
Palabras clave: Series de Fourier, notas hist´ricas, ecuaci´n de ondas, ecuaci´n
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o
del calor, problemas del tipo Sturm-Liouville, bases de espacios de Hilbert, operadores compactos y autoadjuntos.

ResumenUno de los problemas del que se ocuparon los matem´ticos del siglo XVIII es
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el que se conoce con el nombre del “problema de la cuerda vibrante”. Este
problema fue estudiado por d’Alembert y Euler (usando el m´todo de propae
gaci´n de las ondas) y un poco m´s tarde, concretamente en 1.753, por Daniel
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Bernouilli. La soluci´n dada por ´ste difer´ de la proporcionada por los ano
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ıateriores y consisti´ b´sicamente en expresar la soluci´n del problema como
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superposici´n (en general infinita) de ondas sencillas. Las ideas de Bernouilli
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fueron aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1.807, en el estudio de problemas relacionados con la conducci´n del calor. Quedaron plasmadas por escrito
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en el libro cl´sico “Th´orie analytique de la Chaleur”, publicado en1.822. Los
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razonamientos realizados por Fourier en este libro plantearon de manera inmediata numerosas controversias y cuestiones que han tenido una influencia
significativa en la historia de la Matem´tica. En este trabajo comentamos ala
gunas de ellas, tales como la existencia de funciones continuas no derivables,
la teor´ de conjuntos de Cantor y las nociones de integral de Cauchy, Rieıamann y Lebesgue. Hablamos, adem´s, de c´mo es la presentaci´n actual de
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la teor´ de series de Fourier, a trav´s del espacio de funciones de cuadrado
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integrable, en el sentido de Lebesgue, y de los problemas de contorno del tipo

A. Ca˜ada, Seminario de Historia de la Matem´tica, 04/05
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Sturm-Liouville, que proporcionan bases m´s generales que la de Fourier. Por
aultimo, comentamos el papel jugado en este siglo por el An´lisis Funcional
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para situar la teor´ de series de Fourier en su marco abstracto: el de las bases
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de los espacios de Hilbert separables, obtenidas con los vectores propios de los
operadores lineales, compactos y autoadjuntos. Este punto de vista abri´ el
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rango de aplicabilidad de los m´todos de Fourier a camposinsospechados.
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D’Alembert, Euler y la ecuaci´n de la cuerda vibrante
o
Uno de los problemas m´s interesantes del que se ocuparon los cient´
a
ıficos del
Siglo XVIII, y que se presenta con relativa frecuencia en los problemas f´
ısicos
relacionados con procesos oscilatorios, fu´ el que se conoce con el nombre
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de “El problema de la cuerda vibrante”. Este, puede describirse en la
situaci´nm´s elemental posible, de la siguiente forma: Supongamos que una
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cuerda flexible se estira hasta quedar tensa y que sus extremos se fijan, por
conveniencia, en los puntos (0, 0) y (π, 0) del eje de abcisas. Entonces se tira
de la cuerda hasta que ´sta adopte la forma de una curva dada por la ecuaci´n
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y = f (x) y se suelta. La cuesti´n es: ¿Cu´l es el movimiento descrito por la
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acuerda? Si los desplazamientos de ´sta se hallan siempre en un mismo plano
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y el vector del desplazamiento es perpendicular, en cualquier momento, al eje
de abcisas, dicho movimiento vendr´ descrito por una funci´n u(x, t), donde
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u(x, t) representar´ el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada
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x ( 0 ≤ x ≤ π ) y el tiempo t (t ≥ 0). El problema que se plantea es...