Igualdad de conjunto

Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos  y  se dicen iguales, lo que se escribe  si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

[editar]Subconjuntos y Superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra 
Un conjunto  se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de  es tambiénelemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si  tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de  es elemento de , entonces decimos que  es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras,  si ysólo si , y . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A essubconjunto impropio de sí mismo.
Si  es un subconjunto de , decimos también que  es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,
y también que:
,
significando  que  es superconjunto propio de .
Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento ,por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que  es una relación de orden sobre un conjunto  de conjuntos, pues
| | | ( es reflexiva) |
| | | ( es antisimétrica) |
| | | ( es transitiva) |

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}. 
Asimismo, se llama diferenciasimétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A
Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U, 
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
*  ' = U .
* U ' = .
* (A')' = A .
* A  B  B'  A' .
* Si A = { x  U |p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.
  
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, 
es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, 
es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.
Si A y Bson subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'. 
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES | UNION | INTERSECCION |
1.- Idempotencia | A  A = A | A  A = A |
2.- Conmutativa | A  B = B  A | A  B = B  A |
3.- Asociativa | A  ( B  C ) = ( A  B )  C | A  (B  C ) = ( A  B )  C |
4.- Absorción | A  ( A  B ) = A | A  ( A  B ) = A |
5.- Distributiva | A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) | A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) |
6.- Complementariedad | A  A' = U | A  A' =  |

 
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. 
Además de éstas, se verifican tambiénlas siguientes propiedades:
* A   = A , A   =  ( elemento nulo ).
* A  U = U , A  U = A ( elemento universal ).
* ( A  B )' = A'  B' , ( A  B )' = A'  B' ( leyes de Morgan ).
  
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: 
 
A  B := { (a,b) : a  A  b  B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A  Bson iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica 
 
A  B = C  D  ( A = C  B = D )

Se llama grafo relativo a A  B a todo subconjunto G  A  B. 
Dado un grafo G relativo a A  B, se llama proyección de G sobre A al conjunto 
 
ProyAG := { a  A : (a,b)  G,  b  B}

Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B.
Por último, los...