Implicación Lógica

Decir que A es necesaria y suficiente para B es decir dos cosas simultáneamente:
1. A es necesaria para B
2. A es suficiente para B.
Por ejemplo, Si Alicia siempre come bistec ellunes, pero nunca en otro día, podemos decir que «El hecho de que sea lunes es una condición necesaria y suficiente para que Alicia coma bistec». Lo recíproco también es verdadero: «El hecho de queAlicia esté comiendo bistec es una condición necesaria y suficiente para que sea lunes». De este modo, en el momento en que A es necesaria y suficiente para B, B es necesaria y suficiente paraA.
Una vez más, esto es confuso, desde que la acción de Alicia de comer bistec no causa que sea Lunes.
Desde que la frase «necesaria y suficiente» puede expresar una relación entre oracioneso entre estado de las cosas, objetos, o eventos, esta no debe ser combinada demasiado rápido con equivalencia lógica. El hecho de que Alicia este comiendo bistec no es equivalentemente lógicopara que sea Lunes.
Sin embargo, «A es necesario y suficiente para B» expresa la misma cosa que «A si y solo si B».

1.3.1 Implicación Lógica
Se dice que la proposición P implicalógicamente la proposición Q, y se escribe P =⇒ Q, si Q es verdad cuando P es verdad.
Obsérvese que esto es equivalente a decir que P =⇒ Q es falso si P es falso cuando Q es falso, ya que si P es verdadsiendo Q falso, no se cumpliría la definición anterior.
Ejemplo 1.15 Dadas las proposiciones p y q, demostrar que la negación de p ´o q implica lógicamente la negación de p.
Solución
Lo quese pide es probar que ¬(p ∨ q) ⇒ ¬p, es decir si cada vez que ¬(p ∨ q) es verdad, ¬p también lo es. En efecto, si ¬(p ∨ q) es verdad, entonces p ∨ q es falso, de aquí que p sea falso y,consecuentemente, ¬p sea verdad.
También podemos decir que si ¬p es falso, entonces p es verdad, luego p ∨ q es verdad (cualquiera que sea el valor de verdad de q) y, por lo tanto, ¬(p ∨ q) es...