importante

Problemas de aplicación de límites

Pregunta 1
Se sabe que el precio de un artículo “P” a través del tiempo “t” (en meses) está
at + 8
, si se sabe que el precio de este artículo el
dado por lafunción: P(t ) =
t+b
próximo mes será de $6.50, y el siguiente mes será de $6.00. Se desea saber:
a) El precio del artículo para este mes.
b) En que mes el precio será de $5.50.
c) ¿Qué ocurrecon el precio a largo plazo?
Resolución

Tenemos

t:

tiempo (meses)

P:

precio del artículo ($)

P(t ) =

at + 8
t+b

Consideraremos el mes actual como t = 0 luego, el próximo mescorresponderá a t = 1 y el siguiente mes (siguiente mes al próximo)
corresponderá a t = 2 .
Dato: El precio de este artículo el próximo mes será de $6.50.

de donde

P(1) =

a(1) + 8
(1) + b6.5 =

P(1) = 6.50

a+8
b +1

a − 6.5b = −1.5

… (I)

Dato: El precio de este artículo el siguiente mes - al próximo - será de $6.00.

P(2) = 6.00

P(2) =

6=
de donde

a(2) + 8(2) + b

2a + 8
b+2

a − 3b = 2

… (II)

www.grupolamatriz.com
 

Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos:
Con a = 5 y b = 1 tenemos la función:
a.

P(t ) =

a =5, b =1

5t + 8
t +1

El precio del artículo para este mes: P(0)

P(0) =

5(0) + 8
=8
(0) + 1

En este mes el precio del artículo es $8.00.
b.

En un tiempo “t” el precio del artículoserá $5.50:

P(t ) = 5.50
5.50 =

5t + 8
t +1

resolviendo obtenemos:

t=5

Dentro de cinco meses el precio del artículo será $5.50.
c.

El precio a largo plazo ocurrirá cuando t → +∞5t + 8
= lim
lim P(t ) = lim
t → +∞
t → +∞ t + 1
t → +∞

8
t =5
1
1+
t

5+

A largo plazo el precio del artículo tiende a $5.00.

Pregunta 2
Se estima que dentro de “t” años, lapoblación “P” de un cierto país será de:
80
P (t ) =
, millones de habitantes.
8 + 12e −0.06 t

a.

¿Cuál es la población actual?

b.

¿Cuál será la población dentro de 50 años?

c....