independencia lineal

Consideremos los siguientes vectores

¿Se puede expresar  el vector  como combinación lineal de los tres primeros vectores? . Para resolver esta cuestión en DERIVE, primero definimos estosvectores

y a continuación planteamos la ecuación vectorial

que una vez simplificada nos proporciona el sistema de ecuaciones

Si obtenemos una solución para a,b,c, habremos obtenido una combinación linealde los tres primeros vectores, gracias a la cual obtendremos el cuarto vector. Si resolvemos el sistema anterior con el comando SOLVE, resulta

lo cual nos indica que

es decir que el vector se puedeexpresar como combinación lineal de los tres primeros vectores. La DEPENDENCIA que tiene este vector respecto del resto se traduce en la existencia de una DEPENDENCIA LINEAL en el conjunto de loscuatro vectores.
Pero puede plantearse una situación contraria, por ejemplo
Si tenemos los vectores (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0), podríamos intentar ver si alguno de ellos se puede expresar comocombinación lineal de los dos restantes. Para efectuar esta comprobación en DERIVE, primero definiríamos nuestros tres vectores

Intentemos ver si u1 se puede expresar como combinación lineal de u2 y u3. Paraello, primero editamos la ecuación vectorial

cuyo sistema de ecuaciones viene dado por

luego esta primera combinación lineal no es posible. 
  
 
Intentemos ver si u2 se puede expresar comocombinación lineal de u1 y u3, efectuando

al simplificar nos da 
 

sistema claramente sin solución. 
  
 Por último para ver si u3 se puede expresar como combinación lineal de u1 y u2 editamos laecuación

es decir, el sistema de ecuaciones 
 

que nuevamente es incompatible.
En esta situación, podemos decir que los tres vectores son INDEPENDIENTES de combinaciones lineales, es decir son LINEALMENTEINDEPENDIENTES. 

Consideremos los conjuntos de vectores de ejemplos anteriores de los cuales ya sabemos que son linealmente dependiente y linealmente independientes respectivamente:
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