Dependencia lineal e independencia lineal
Páginas: 4 (982 palabras)
Publicado: 8 de noviembre de 2013
Dependencia lineal e Independencia lineal. Wronskiano
Un conjunto de funciones f_1 (x),f_2 (x),…f_n (x) es linealmente dependiente en un intervalo “I” si existen constantes c_1,c_2…c_n; NO todascero, tales que:
〖c_1 f〗_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)+,…〖+c_n f〗_n (x)=0
…para toda “x” en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmenteindependiente.
En otras palabra, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo “I” si las únicas constantes para las que
〖c_1 f〗_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)+,…〖+c_n f〗_n (x)=0…para toda “x” en el intervalo son: c_1=c_2=⋯〖=c〗_n=0
Es fácil entender estas definiciones para un conjunto que consiste en dos funciones f_1 (x) y f_2 (x). Si el conjunto de funciones es linealmentedependiente en un intervalo, entonces existen constantes c_1 y c_2 que no son ambas cero de manera tal que, para toda “x” en el intervalo, 〖c_1 f〗_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)=0. Por consiguiente, si se suponeque c_1‡ 0, se deduce que f_1 (x)=(〖-c〗_2⁄c_1 )f_2 (x); es decir: si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante de otro.
A lainversa; si f_1 (x)=〖c_2 f〗_2 (x) para alguna constante c_2, entonces (-1). f_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)=0 para toda “x” en el intervalo. Por consiguiente, el conjunto de funciones es linealmentedependiente porque al menos una de las constantes (a saber, c_1=-1) no es cero. Se concluye que un conjunto de dos funciones f_1 (x) y f_2 (x) es linealmente independiente cuando ninguna función es unmúltiplo constante de la otra en el intervalo.
Ejemplo.- El conjunto de funciones f_1 (x)=sen2x, f_2 (x)=senx cosx, es linealmente dependiente en (-∞,∞) porque f_1 (x) es un múltiplo constante de f_2 (x).Recuerda de la equivalencia trigonométrica donde el doble de un ángulo para el seno dice que sen2x=2senx cosx. Por otro lado, el conjunto de funciones f_1 (x)=x, f_2 (x)=IxI es linealmente...
Un conjunto de funciones f_1 (x),f_2 (x),…f_n (x) es linealmente dependiente en un intervalo “I” si existen constantes c_1,c_2…c_n; NO todascero, tales que:
〖c_1 f〗_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)+,…〖+c_n f〗_n (x)=0
…para toda “x” en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmenteindependiente.
En otras palabra, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo “I” si las únicas constantes para las que
〖c_1 f〗_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)+,…〖+c_n f〗_n (x)=0…para toda “x” en el intervalo son: c_1=c_2=⋯〖=c〗_n=0
Es fácil entender estas definiciones para un conjunto que consiste en dos funciones f_1 (x) y f_2 (x). Si el conjunto de funciones es linealmentedependiente en un intervalo, entonces existen constantes c_1 y c_2 que no son ambas cero de manera tal que, para toda “x” en el intervalo, 〖c_1 f〗_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)=0. Por consiguiente, si se suponeque c_1‡ 0, se deduce que f_1 (x)=(〖-c〗_2⁄c_1 )f_2 (x); es decir: si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante de otro.
A lainversa; si f_1 (x)=〖c_2 f〗_2 (x) para alguna constante c_2, entonces (-1). f_1 (x)+〖c_2 f〗_2 (x)=0 para toda “x” en el intervalo. Por consiguiente, el conjunto de funciones es linealmentedependiente porque al menos una de las constantes (a saber, c_1=-1) no es cero. Se concluye que un conjunto de dos funciones f_1 (x) y f_2 (x) es linealmente independiente cuando ninguna función es unmúltiplo constante de la otra en el intervalo.
Ejemplo.- El conjunto de funciones f_1 (x)=sen2x, f_2 (x)=senx cosx, es linealmente dependiente en (-∞,∞) porque f_1 (x) es un múltiplo constante de f_2 (x).Recuerda de la equivalencia trigonométrica donde el doble de un ángulo para el seno dice que sen2x=2senx cosx. Por otro lado, el conjunto de funciones f_1 (x)=x, f_2 (x)=IxI es linealmente...
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