Dependencia e independencia lineal

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ALGEBRA LINEAL. CONJUNTOS CONVEXOS. 1. Dependencia e independencia lineal. Base. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones. 3. Soluciones b´sicas. a 4. Conjuntos convexos. 5. Conjuntos convexos: definiciones. 6. Conjuntos convexos: teoremas. 7. Aplicaci´n a la Programaci´n Lineal. o o

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1 Dependencia e independencia lineal. Base. Definici´n 1 Dados v 1, v2 , . . . , vn , se llamacombinaci´n o o lineal de esos vectores a α1 v1 + α 2 v2 + · · · + α n vn siendo α1, . . . , αn ∈ R . Definici´n 2 Los vectores v1, v2 , . . . , vp ∈ R n son lio nealmente dependientes si existen α1 , . . . , αp ∈ R no todos nulos tales que α1 v1 + α 2 v2 + · · · + α p vp = 0 Definici´n 3 Dados v1, v2 , . . . , vp ∈ R n , si se verifica o α1 v1 + α 2 v2 + · · · + α p vp = 0 ⇒ α 1 = α 2 = · · · = α p = 0entonces, los vectores v1, v2 , . . . , vp son linealmente independientes. Definici´n 4 Un conjunto {v1 , v2, . . . , vp} ∈ R n es un o sistema generador si ∀y ∈ R n ∃α1, . . . , αp tal que

y = α 1 v1 + . . . + α p vp

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Definici´n 5 Una base de un espacio vectorial es un o conjunto de vectores {v1 , . . . , vp } que verifica a) Son linealmente independientes. b) Son un sistema generador.

oo Definici´n 6 La dimensi´n de un espacio vectorial es el n´mero de vectores de una base. u Observaci´n: Todas las bases de un espacio vectorial o tienen el mismo n´mero de vectores. u

Teorema 1 Cualquier vector de un espacio vectorial se puede escribir como combinaci´n lineal de los vectores o de una base, siendo esa combinaci´n lineal unica. o ´

Teorema 2 Dada una base B del espaciovectorial R n y un vector v ∈ R n que no est´ en B, v = 0, siempre a u es posible conseguir otra base sustituyendo alg´n vector de B por el vector v.

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2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones. Dada A ∈ R m×n , rang A = n´mero filas lin. ind.. u Sea Ax = b,

A ∈ R m×n.

1. Si rang A = rang [A b] → sistema incompatible. 2. Si rang A = rang [A b] → sistema compatible. • Si rang A = rang [Ab] = n´mero de incognitas u → soluci´n ´nica. o u • Si rang A = rang [A b] < n´mero de incognitas u → infinitas soluciones. Soluciones. Sea Ax = b,

A ∈ R m×n,

m < n.

Si rang A = m y B es una submatriz de A con m columnas linealmente independientes,

BxB + NxN = b BxB = b − NxN xB = B−1b − B−1NxN
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3. Soluciones b´sicas. a

Ax = b A ∈ R m×n,
m < n, rang A = m,

xB = B−1b −B−1NxN
• xB : inc´gnitas b´sicas. o a • xN : inc´gnitas libres. o Definici´n 7 Dado un sistema lineal Ax = b, llamamos o soluci´n b´sica xB a la que se obtiene dando a todas o a las inc´gnitas libres el valor 0. o

xN = 0 ⇒ xB = B−1b
N´mero m´ximo de soluciones b´sicas: u a a   n n!  = m! (n − m)! m

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4 Conjuntos convexos. Ecuaci´n de una recta. o Dados los puntos x1, x2 ∈ R n, x1 = x2 elsiguiente conjunto es una recta R = {x/x = λx2 +(1−λ)x1 , x1, x2 ∈ R n , x1 = x2 , λ ∈ R } Segmentos. S = {x/x = λx2 +(1−λ)x1 , x1 , x2 ∈ R n , x1 = x2 , 0 ≤ λ ≤ 1} Hiperplanos y semiespacios. 1. {x/cT x < z} semiespacio abierto. 2. {x/cT x = z} hiperplano (semiespacio cerrado). 3. {x/cT x > z} semiespacio abierto. Los siguientes semiespacios son cerrados: {x/cT x < z} ∪ {x/cT x = z} = {x/cT x ≤z} {x/cT x = z} ∪ {x/cT x > z} = {x/cT x ≥ z}

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5. Conjuntos convexos: definiciones. Definici´n 8 Sean x1 , x2 ∈ R n . La combinaci´n lineal o o

x = λx2 + (1 − λ)x1 , 0 ≤ λ ≤ 1
se llama combinaci´n lineal convexa de x1 y x2 . o o Si 0 < λ < 1, a la combinaci´n lineal convexa se le llama restringida. Observaci´n: El segmento que une dos puntos es el o conjunto de las combinaciones linealesconvexas de los dos puntos.

Definici´n 9 Un conjunto X ⊂ R n es convexo si dados o 2 puntos cualesquiera x1, x2 ∈ X, cualquier combinaci´n o lineal convexa pertenece al conjunto X.

Definici´n 10 x ∈ X ⊂ R n es punto extremo si o ∃x1 , x2 ∈ X,

x1 = x2, / x = λx2 + (1 − λ)x1 , 0 < λ < 1

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6. Conjuntos convexos: teoremas. Teorema 3 Un hiperplano es un conjunto convexo. Teorema 4 Los...
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