Independencia variables aleatorias

5.7 INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS Sea el vector aleatorio . Las componentes del vector X pueden exhibir comportamientos probabilísticos independientes si la distribución de una de ellas se mantiene invariante cuando la otra asume un valor particular. En caso contrario, se dice que las variables están correlacionadas o, simplemente, asociadas. Sea un espacio de probabilidad y un vectoraleatorio bidimensional definido en ese espacio de probabilidad. Las variables aleatorias y son independientes si y solamente si

para todo

y

eventos. un vector aleatorio discreto con función de masa de probabilidad y funciones de masa marginales dadas, respectivamente, por y

TEOREMA 5.1 Sea

dada por

. Si las variables

y

son independientes, si y solo si se cumple que

paratodo i y j. Demostración. Prueba de la necesidad. Si las variables y son independientes, entonces

para todo i y j. Prueba de la suficiencia. Ahora bien, supóngase que la igualdad anterior se cumple. Luego, para todo y eventos, se tiene que

Sea un vector aleatorio continuo con función de densidad de probabilidad conjunta dada por y funciones de densidad de probabilidad marginales dadas,respectivamente, por y . Luego, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Las variables y son independientes.
TEOREMA 5.2

(ii) (iii)

, donde

La demostración del teorema 5.2 se omite. Al respecto, se dirá que del teorema se colige que las variables aleatorias continuas son y son independientes si y solamente si se cumple que

para todo

.

EJ EMPLO 1. Sean X y Y variablesaleatorias discretas con función de masa de probabilidad conjunta dada por

Para

se tiene que

Luego, es claro que X y Y no son variables aleatorias independientes, puesto que

EJ EMPLO 2. Sean X y Y variab les aleatorias continuas con función de densidad de probabilidad conjunta dada por

Las funciones de densidad marg inales de X y Y son, respectivamente,

Es evidente que

para todoEJ EMPLO 3. Sean X y Y variables aleatorias independientes, cada una de las cuales sigue una distribución uniforme en el intervalo co mprendido entre 0 y 2. La función de densidad conjunta de X y Y es

Luego,

TEOREMA 5.3 (i) Sea X =

un vector aleatorio discreto. Entonces

para todo i y j si y solamente si las variables (ii) Sea X =

y

son independientes.

un vector aleatoriocontinuo. Entonces

para todo

si y solamente si las variables

y

son independientes.

Demostración. Prueba de la necesidad. (i) De las definiciones de distribución condicional e independencia de variables aleatorias, para todo i y j, se tiene que

Con el razonamiento inverso, la prueba de la suficiencia parte del lado derecho de las igualdades anteriores para llegar a las expresiones enel lado izquierdo. La demostración del literal (ii) es análoga.

5.7 MEDIDAS DE ASOCIACIÓN Como ya se dijo, cuando las componentes de un vector aleatorio no son independientes, se dice que están asociadas. Se presentan a continuación dos medidas del grado de asociación entre variables aleatorias. 5.7.1 Covarianza. Sea X = variación conjunta de las variables un vector aleatorio. La covarianza esuna medida de la y y está dada por

PROPOSICIÓN 5.1 Las siguientes son propiedades de la covarianza:

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Sea a una constante, entonces Sea a una constante, entonces Sean a y b constantes, entonces Sean a y b constantes, entonces Si , entonces

Demostración. Para cada enunciado aplicar la definición de covarianza y las propiedades del valor esperado y la varianza deuna variable aleatoria.

EJ EMPLO 4. Sean X y Y variables aleatorias continuas con función de densidad conjunta dada por

Se tiene que

Luego,

Sea X = independientes, entonces
TEOREMA 5 .4

un vector aleatorio. Si

y

son variables aleatorias

Demostración. Se analiza el caso en que y son variables aleatorias continuas, aunque el resultado también es válido cuando las variables...