Inducao matematica

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page 1 Estilo OBMEP
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Indução Matemática
Abramo Hefez

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page 2 Estilo OBMEP
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Texto já revisado pela nova ortografia.

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page 3 Estilo OBMEP
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Sobre o Autor Abramo Hefez nasceu no Egito, mas é brasileiro por opção e carioca de coração. Cursou o ginasial ecientífico no Rio de Janeiro, graduou-se na PUC-Rio em Matemática e prosseguiu seus estudos na Universidade de Pisa, Itália e nos Estados Unidos, doutorando-se, em Geometria Algébrica no Massachusetts Institute of Technology. É Professor Titular no Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense, onde desenvolve atividades de pesquisa e leciona na graduação e pós-graduação. Foi eleitorecentemente membro da Academia Brasileira de Ciências.

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page 4 Estilo OBMEP
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“inducaofinal” 2009/6/30 i page i Estilo OBMEP
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Sumário
1 Indução Matemática 1.1 1.2 1.3 O Princípio de Indução Matemática . . . . . . . . . . 1 1 14 24 31 31 35 37 38 40 45 45 54

Definição por Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . .Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Indução e Mundo Material 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 A Torre de Hanói . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Enigma do Cavalo de Alexandre . . . . . . . . . . . Descobrindo a Moeda Falsa . . . . . . . . . . . . . . . A Pizza de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os Coelhos de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . .

3Indução e Matemática 3.1 3.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page ii Estilo OBMEP
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ii 3.3 3.4 3.5

SUMÁRIO

Princípio do Menor Inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . O Princípio das Gavetas . . . . . . . . . . . . . . . . . Desigualdades . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

59 68 73 83

Respostas

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page iii Estilo OBMEP
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Introdução
Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista. É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito emMatemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado. O material aqui apresentado é uma pequena seleção de assuntos relacionados com esse tema, cujo desenvolvimento se espalha por cerca de dois mil anos, originando-se nos magníficos trabalhos dos Gregos Antigos, que têm em Os Elementos de Euclides, de aproximadamente 300 a.C., o seu ponto culminante. Estas notasse destinam a você, aluno do Ensino Médio, que está envolvido em atividades promovidas pela OBMEP. Elas cobrem assuntos que provavelmente não lhe foram ensinados, pelo menos com este grau de detalhe nem de profundidade, na escola, mas que, na minha opinião, como mencionado acima, deveriam fazer parte de sua bagagem cultural. Não tenho a expectativa de que você absorva todo o material iii

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“inducaofinal” 2009/6/30 i page iv Estilo OBMEP
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iv aqui apresentado numa primeira leitura, pois ele possui um grau de abstração um pouco maior do que o costumeiro nessa fase de sua formação. Estude estas notas, procure entender os exemplos e, sobretudo, tente seriamente resolver os problemas, pois nunca esqueça que a Matemática só se aprende fazendo. Se necessário, volte aelas depois de algum tempo, pois, assim procedendo, você estará plantando uma semente que lhe trará valiosos frutos. Finalmente, não poderia encerrar essa introdução antes de agradecer à Coordenação da OBMEP pelo convite para escrever este texto e ao meu colega Dinamérico Pereira Pombo Jr. pela leitura cuidadosa do manuscrito. Niterói, julho de 2007. Abramo Hefez Departamento de Matemática Aplicada...
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