Inecuaciones con valor absoluto

-24567-307005194081-10046200
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS DAMINISTRATIVAS
ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
AP-1
MATEMÁTICAS
INECUACIONES CON VALOR ABOSLUTO
AUTORES:
Antoni Andrade
Jaysson Abad
Daniel Pedrera
28 de octubre de 2014
OBJETIVO
Mostrar ejemplos y explicar el proceso para resolver inecuaciones con valor absoluto.
DESARROLLO
El valor absoluto o módulo deun número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o negativo.
Para resolver inecuaciones con valor absoluto, aplicamos las reglas siguientes:Sean x y c números reales:

16281401270003885774190500
CARACTERISTICAS:
A diferencia de las ecuaciones, en las que es diferente leerlas de izquierda a derecha o viceversa, puesto que su signo = se lee siempre de lamisma forma, en las inecuaciones, el símbolo de inecuación tiene lectura distinta dependiendo del lado desde el que se lea.
La diferencia más notable que existe entre las ecuaciones y las inecuaciones es que en una igualdad, si ambos miembros se multiplican o dividen por un número distinto de cero, la solución de la ecuación no varía.
Las inecuación con valor absoluto llevan en sus miembros estossímbolos ( I I ), que la da un valor absoluto sin importan el signo que este lleve.
PASOS PARA RESOLVER LAS INECUACIONES
Resolver la siguiente inecuación ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0
Paso 1.- Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la ecuación.∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9
Paso 2.- Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ 3 - 4 x ∣ = 9
Aplicando la definición de valor absoluto,tenemos dos posibilidades:
3 - 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4 = - 12 - 4 x = 3
3 - 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 - 4 x - 4 = 6 - 4 x = - 3 2

Paso 3.- Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
-Intervalo
-Punto de Prueba
-Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , - 3 2 )
x = -2∣ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11
( - 3 2 , 3 )
x = 0 ∣ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3
( 3 , ∞ )
x = 4 ∣ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13
Paso 4.- Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cuál de estosintervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 9 .La solución se puede expresar de distintas formas:
Expresando la solución como conjunto:
x x ≤ - 3 2 ó x ≥ 3
Expresando la solución como intervalo
( - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ )
Gráficamente

EJEMPLOS
EJEMPLO 1:
|x2 - 1| < 3
- 3 < x2 - 1 < 3
Resolvemos lasdos inecuaciones por separado:
a)   x2 - 1 > -3      ⇔      x2 + 2 > 0      ⇒      x > ± √-2
La inecuación no se puede factorizar, así que estudiamos el signo en todo R.
(-∞ , ∞):   damos un valor cualquiera en este intervalo, por ejemplo    x = 0     ⇒     x2 + 2 = 2 > 0
(- ∞, ∞)
+
El conjunto de soluciones es:     (-∞ , ∞)
b)   x2 - 1 < 3      ⇔      x2 - 4 < 0    x2 - 4 = 0     ⇔     x = ± √4 = ± 2
Factorizamos la inecuación:     (x - 2)(x + 2) < 0
Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ , -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞)
•  (-∞ , -2):   x = - 3     ⇒     (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) > 0
•  (-2 , 2):   x = 0     ⇒     (x - 2)(x + 2) = (- 2)(2) < 0
•  (2 , ∞):   x = 3     ⇒    (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) > 0
(- ∞, - 2) (- 2 ,...