Inecuaciones Con Valor Absoluto

Universidad de la Frontera

4

Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica
Cl´ınica de Matem´
atica

Inecuaciones con Valor Absoluto
J. Labrin - G.Riquelme

Propiedades de Valor Absoluto:
3. |x + y| ≤ |x| + |y|

1. |x · y| = |x| · |y|
2.

x
y

=

4. |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k, k ≥ 0

|x|
|y|

5. |x| ≥ k ⇔ x ≤ −k ∨ x ≥ k, k ≥ 0

1. Resolver la siguiente inecuaci´
on:
|x − 1| ≤ 3
Soluci´
on
|x − 1| ≤ 3 ⇔−3 ≤ x − 1 ≤ 3/ + 1

por propiedad (4)

⇔ −2 ≤ x ≤ 4

⇒ soluci´
on: [−2, 4]
2. Resolver la inecuaci´
on:
|2x + 4| ≥ 6
Soluci´
on
|2x + 4| ≥ 6 ⇒ 2x + 4 ≤ −6 ∨ 2x + 4 ≥ 6
⇒ x + 2 ≤ −3 ∨ x + 2 ≥ 3

por propiedad (5)
factorizando y simplificando

⇒ x ≤ −5 ∨ x ≥ 1

Como x es menor o igual que −5 o x es meyor o igual que 1, el conjunto soluci´
on estar´a dado por la
uni´
on de estos intervalos (tal ycomo se aprecia en la Figura 1)

Luego el conjunto soluci´
on ser´
a: ] − ∞, −5] ∪ [1, ∞[

22

Figura 4.1:
3. Resuelva:
|x2 + 3| ≥ 5
Soluci´
on

|x2 + 3| ≥ 5 ⇒ x2 + 3 ≤ −5 ∨ x2 + 3 ≥ 5
2

⇒ x ≤ −8 ∨ x ≥ 2

⇒ x2 ≤ −8/8 ∨ |x| ≥
2

por propiedad (5)

2

√

2

2

⇒x +8≤0 ∨ x ≥2

Observamos que x2 + 8 = 0 no tiene soluci´
on en R, es decir su soluci´
on es ∅, para el segundo caso se
tiene:
√
√
√
x2 ≥ 2⇒ |x| ≥ 2 ⇒ x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2
Luego el conjunto soluci´
on se observa en la siguiente imagen (Figura 2)

Figura 4.2:
4. Resuelva la siguiente inecuaci´
on:

x
+7 ≥2
2

Soluci´
on
x
x
x
+ 7 ≥ 2 ⇒ + 7 ≤ −2 ∨ + 7 ≥ 2
2
2
2
x
x
⇒ ≤ −9 ∨ ≥ −5
2
2
⇒ x ≤ −18 ∨ x ≥ −10

Figura 4.3:

23

Por propiedad (5)
multiplicamos por 2

El conjunto soluci´
on se observa en la figura anterior (Figura 4), de ah´ıpodemos asegurar que la soluci´
on final ser´
a:
∴ Sol:] − ∞, −18] ∪ [−10, ∞[
5. Resuelve las siguiente ecuaci´on con valor absoluto:
|x − 1| + |4 − 2x| = 4
Soluci´
on
Vemos que los valores que anulan el valor absoluto son x = 1 y x = 2, luego debemos resolver la
ecuaci´on para los siguientes intervalos:
(−∞, 1)
−x + 1 + 4 − 2x = 4

−3x = −1
1
x=
3

(1, 2)
x − 1 + 4 − 2x = 4
−x = 1

x = −1

Estasoluci´
on no pertenece al intervalo, por lo cual se descarta
(2, ∞)
x − 1 − 4 + 2x = 4

3x = 9
x=3

Luego las soluciones son x = 3, x =

1
3

6. Resuelva la siguiente inecuaci´
on:
|x − 1| < 2|x − 3|
Soluci´
on
Primero que todo elevamos al cuadrado para eliminar el Valor Absoluto, desarrollamos algebraicamente
de tal modo que al lado derecho de nuestra inecuaci´
on nos resulte 0, tal y como se aprecia acontinuaci´
on:
|x − 1| < 2|x − 3|/()2 ⇒ (x − 1)2 < 4(x − 3)2

⇒ x2 − 2x + 1 < 4(x2 − 6x + 9)

⇒ x2 − 2x + 1 < 4x2 − 24x + 36
⇒ 3x2 − 22x + 35 > 0

⇒ (3x − 7)(x − 5) > 0
Puntos Cr´ıticos:

24

3x − 7 = 0 ⇒ x =

7
3

x−5=0⇒x=5

Como nuestro ejercicio es mayor a cero, las soluciones a encontrar son todas aquellas positivas, para ello
realizamos el siguiente cuadro:
Intervalos −∞, −4 −4, 32
3x − 7−
+
x−5
−
−
Resultado
+
−

3
2, ∞

+
+
+

Luego el conjunto soluci´
on est´
a dado por:
∴ Sol: −∞,

7
∪]5, ∞[
3

7. Encuentre el conjunto soluci´
on:
x+2
x−1
−
<0
x−6
x−3
Soluci´
on

x+2
|x − 1|
x−1
|x + 2|
<
−
<0⇒
x−6
x−3
|x − 6|
|x − 3|

Por propiedad (2)

⇒ |x + 2||x − 3| < |x − 1||x − 6|/()2
2

2

2

elvamos al cuadrado
2

⇒ (x + 2) (x − 3) < (x − 1) (x − 6)

⇒ (x2 + 4x + 4)(x2 − 6x + 9) < (x2 −2x + 1)(x2 − 12x + 36)

⇒ x4 − 2x3 − 11x2 + 12x + 36 < x4 − 14x3 + 61x2 − 84x + 36
1
⇒ 12x3 − 72x2 + 96x < 0/ ·
12
⇒ x3 − 6x2 + 8x < 0
⇒ x(x2 − 6x + 8) < 0

⇒ x(x − 2)(x − 4) < 0
Puntos Cr´ıticos:
x=0

x=2

x=4

Se aprecia que nuestro ejercicio es menor que 0, por lo tanto las soluciones que buscamos son aquellas
negativas, como se aprecia en la tabla:
Intervalos −∞, 0 0, 2 2, 4 4, ∞
x
−
+
+
+x−2
−
−
+
+
x−4
−
−
−
+
Resultado
−
+
−
+
Luego el conjunto soluci´
on es:
∴ Sol:(] − ∞, 0[∪]2, 4[) − {3}

25

8. Resuelva la siguiente inecuaci´
on con valor absoluto:
3x + 12
>1
x+2
Soluci´
on
3x + 12
3x + 12
3x + 12
>1⇒
< −1 ∨
>1
x+2
x+2
x+2
3x + 12
3x + 12
+1<0∨
−1>0
⇒
x+2
x+2
3x + 12 − x − 2
3x + 12 + x + 2
<0∨
>0
⇒
x+2
x+2
4x + 14
2x + 10
⇒
<0∨
>0
x+2
x+2

Por propiedad (5)

Luego la...