Inecuaciones de segundo grado

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ing. José Luis Albornoz Salazar

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INECUACIONES DE 2do. GRADO
Existen varios métodos para resolver este tipo de inecuaciones; casi todos consideran elestudio de las dos raíces del polinomio de segundo grado que contiene la desigualdad. Cuando la ecuación de segundo grado (parábola) no intercepta al eje “X” (eje horizontal o eje de las abscisas) sus raíces son imaginarias y no pueden indicarse sobre la recta real y esta consideración confunde muchas veces a nuestros estudiantes. El método que hemos considerado más sencillo consiste en graficarla parábola e indicar que los valores que estén sobre el eje horizontal son los valores positivos y los que estén por debajo son los negativos.

X=

;

X=

;

X=

;

X=1

Esto significa que por X = 1 pasará una recta perpendicular al eje X que representa al eje de simetría de la parábola. Se introduce este valor en la función determinar el vértice de la parábola. f(1) = (1)2 – 2(1)– 3

f(x) = X2 – 2X – 3
; f(1) = – 4

para

= 1– 2 – 3 = – 4

Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 1, – 4 ) Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ). Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de la función.  Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2raíces diferentes (corta al eje X en dos puntos).  Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice en un punto contenido en el eje X).  Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO corta al eje X). b2 – 4ac = (- 2)2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16

EJERCICIO 1 :

Resolver Solución :

X

2

≥ 3 + 2X

Lo primero que debemos hacer es “pasar” todos los términos allado izquierdo de la desigualdad y ordenarlo como un polinomio en forma descendente (aX2 + bX + c) : X2 – 2X – 3 ≥ 0

Ahora procedemos a graficar el miembro que está al lado izquierdo del signo de la desigualdad, considerándolo como una función. Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los siguientes pasos : Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función. a=1; b=–2 ; c=–3

Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X en dos puntos). Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la fórmula general de segundo grado o resolvente:

Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ing. José Luis Albornoz Salazar

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=
X1 =

= X1 = 3

En estecaso en particular si unimos los tres puntos se deduce fácilmente que la parábola quedará graficada así :

=

Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(3,0) X2 =

Eje de simetría

=

X2 = – 1

Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–1,0) Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.Como la inecuación es del tipo ≥ los cortes con el eje X formarán parte de la solución y por lo tanto se indican con un círculo “relleno”.

Vértice (1,-4)

Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje X) y los valores negativos (están por debajo del eje X).
(-1, 0) (3,0)

Como la desigualdadestudiada quedó ordenada como X2 – 2X – 3 ≥ 0 nos interesa determinar los valores mayores e iguales a cero (valores positivos de la función) y es evidente al observar la grafica que serán los intervalos (– ∞ , – 1]
(1,-4)

y

[ 3,+∞)

La solución puede ser mostrada de tres formas : El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos facilita el procedimiento para...