inecuaciones

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES

1. Resolver las inecuaciones:

a) 3 - 2x ≥ 8 - 7x

b)

6 - 2x
1-x
>
5
10

Solución
a) Para resolver la inecuación, sepasan los términos con x al primer miembro y los independientes
al segundo quedando 5x ≥ 5.
1
, para despejar la x, se obtiene x ≥ 1.
Multiplicando por
5
Por tanto, las soluciones son los números del conjunto [1, +∞).
b) Se eliminan los denominadores de la inecuación, multiplicando por 10,

12 - 4x > 1 - x

se pasan los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo,-3x > -11
se divide por -3 cambiándose la desigualdad de sentido al ser -3 un número negativo,

x<

11
.
3

11 
Por tanto, las soluciones son los números del conjunto -∞,
.
3 


2. Resolver las inecuaciones: a) x2 + 6x - 1 ≤ 3x2 + 3x - 6

b) 3x2 + 4 < x4 + 3x3 + 3x

Solución
a) Al ser una inecuación polinómica de segundo grado, se agrupan todos los términos en un
miembro,por ejemplo, si se pasan al primero queda -2x2 + 3x + 5 ≤ 0.
-1

-3 ± 32 - 4(-2)5
-3 ± 49
-3 ± 7
2
Como las raíces del polinomio -2x + 3x + 5 son x =
=
=
= 5 ,
-4
2(-2)
-4

2
5
la inecuación se puede escribir de la forma -2(x + 1)x -  ≤ 0, y multiplicando por -1 se obtiene
 2
5
2(x + 1)x -  ≥ 0.
 2
En la siguiente tabla se estudia el signo de los factores, en losintervalos determinados por las
raíces, para obtener el signo del polinomio.
Signo

(-∞, -1)

-1, 5 
2


5 , +∞
2


x+1
5
x2

-

+

+

-

-

+

+

-

+

2(x + 1)x -



5
2

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

1

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones ysistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

5
Así los puntos del conjunto (-∞, -1) ∪  , +∞ son solución de la inecuación. Además, como los
2

extremos de los intervalos también son solución, por ser la desigualdad no estricta, se tiene que el
5

conjunto de soluciones es (-∞, -1] ∪  , +∞  .
2


b) Se pasan todos términosal segundo miembro quedando

0 < x4 + 3x3 - 3x2 + 3x - 4.

Para factorizar el polinomio se calculan sus raíces dividiendo por Ruffini
1

-4
1

3

-4

4

1

4

4

1

4

0

-4

1

-3

1

1

3

0

-4

0

1

0

Por tanto, la inecuación queda de la forma 0 < (x - 1)(x + 4)(x2 + 1).
Como el último factor es siempre positivo, para determinar el signo delpolinomio, basta considerar
el signo de los dos primeros factores, como se muestra en la tabla siguiente.
Signo
x-1
x+4
(x - 1)(x + 4)(x2 + 1)

(-∞, -4)
+

(-4, 1)
+
-

(1, +∞)
+
+
+

Sustituyendo los extremos de los intervalos se observa que no son solución de la inecuación. Por
tanto, la solución es el conjunto (-∞, -4) ∪ (1, +∞).

3. Resolver la inecuación

4x + x2 - 2x2 - 2
>
2
x +x
x

Solución

Observar que si se multiplica en cruz, la desigualdad podría cambiar de sentido dependiendo del
signo de los denominadores. Por ello es mejor realizar las siguientes operaciones, con el objeto de
agrupar en un miembro todos los términos.
4x + x2 - 2 x2 - 2
> 0.
x2 + x
x
Realizando operaciones en el primer miembro de la inecuación queda

Se pasarestando el segundo miembro al primero,

4x + x2 - 2 x2 - 2
4x + x2 - 2 - (x2 - 2) (x + 1)
-x3 + 6x
4x + x2 - 2 x2 - 2
=
=
=
2
x +x
x
x(x + 1)
x
x(x + 1)
x(x + 1)
y factorizando el numerador se obtiene

-x3 + 6x
x (6 - x2)
x ( 6 + x) ( 6 - x)
=
=
.
x(x + 1)
x (x + 1)
x (x + 1)

Teniendo en cuenta que x no puede ser cero, ya que este valor anula los denominadores de la...