Inecuaciones

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Inecuaciones
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl
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Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM ____________________________________

Problema nº 1:
Solución: Nuestra primerarestricción debe ser que

Implicando así que el dominio sea

Con este paso previo importantísimo procedemos a analizar en detalle la inecuación, deduciendo que ambos miembros son positivos, por lo que estamos en condiciones de elevar al cuadrado sin tener problemas.

La cual tiene como puntos críticos:
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Si analizamos sucoeficiente principal, y su discriminante, , podemos decir que los intervalos que cumplen con son

Los que al intersectarse con el dominio, se obtiene como solución final

Problema nº 2:
Solución: Primero, necesitamos que la cantidad subradical sea no negativa, esto es

Tomando los puntos críticos: Y utilizando nuestra tabla +

y

+ -

+ + +

La cual nos dice que la ultima desigualdad secumple para

Con esta restricción en mente tenemos que la inecuación es equivalente a

Y vemos que el lado derecho es un polinomio cuadrático siempre positivo (pues su coeficiente principal es y su discriminante ), mientras que el lado izquierdo es siempre negativo. Esto es, la desigualdad se cumple siempre (en tanto se pueda calcular la raíz cuadrada) Por lo tanto, la solución final esInecuaciones / Mat-021 Eleazar Madariaga - UTFSM Página 2

Problema nº 3:
Resolver en los números naturales la siguiente inecuación

Solución: Al analizar detalladamente la inecuación debemos darnos cuenta que el denominador es un polinomio cuadrático siempre positivo ya que su coeficiente principal es y su discriminante es . el cual es siempre positivo, También en el numerador tenemos a de modo que,la inecuación se puede escribir como

Para que existan las raíces, se debe cumplir

No olvidar que también Ahora, elevamos al cuadrado

Probemos Caso 1:

para los tres casos posibles.

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Lo anterior es verdadero, así que, Caso 2:

es solución.

Lo anterior es verdadero, así que,

es solución.

Caso 3:

Lo anteriores verdadero, así que, Por lo tanto, la solución final es

es solución.

Problema nº 4:
Dada la constante , encuentre el conjunto solución de la inecuación

Indicación: exprese la solución en función de los valores que puede tomar la constante . Solución: Resolviendo

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Notar que

, así, lo anterior es equivalente aSeparemos ahora por casos: Si

Si

Para este caso debemos tener especial cuidado ya que se podría creer que la solución

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Es la correcta, pero no lo es, pues las cantidades subradicales son negativas, fijémonos que en el lado derecho es negativo y , de modo que la solución es R. Si

Lo que es cierto para todo real, entonces, elconjunto solución en este caso es R.

Problema nº 5:
Resuelva la inecuación

Solución: Podemos reescribirla como

Trabajando la inecuación (1)

Que tiene por solución

Trabajando la inecuación (2)
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Que tiene por solución

Sabemos que la solución final es la intersección de las dos soluciones obtenidas, pero vemos que estasno son ubicables con facilidad en la recta numérica, así que, para estos casos debemos aproximar muy bien los números irracionales que nos salgan, pero en este caso solo debemos fijarnos en que claramente , por lo tanto, la solución final es

Problema nº 6:
Para , encuentre el conjunto solución de la siguiente inecuación

Solución: Inmediatamente debemos notar que para esta inecuación...