Inecuaciones

MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES

Juan Jesús Pascual

Inecuaciones
Índice ejercicios resueltos
A. Inecuaciones lineales con una incógnita
B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
C. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita
D. Inecuaciones lineales con dos incógnitas
E. Inecuaciones de valor absoluto
F. Inecuaciones racionalesEjercicios resueltos
A. Inecuaciones lineales con una incógnita
1. −

x−1
3x − 3
+1<
4
2

Solución:
−

x−1
3x − 1
x − 1 1 ⋅ 4 (3x − 1)⋅ 2
+1<
⇒−
+
<
⇒
4
2
4
4
4

⇒ −x + 3 < 6x − 2 ⇒ 5 < 5x ⇒ x > 1 ⇒ x ∈ (1, ∞)

2.

x−2 x−1 x−3
−
>
−1
3
4
2
Solución:
4 (x − 2) 3 (x − 1) 6 (x − 3) 12
x−2 x−1 x−3
−
>
−1 ⇒
−
>
−
3
4
2
12
12
12
12
⇒ 4x − 8 − 3x + 3 > 6x− 18 − 12 ⇒
⇒ −5x > −25 ⇒ x < 5 ⇒ x ∈ (−∞ , 5)

B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

3. x 2 − 8x + 12 ≤ 0
Solución:

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J. Pascual

Ecuaciones no lineales resueltas

TIMONMATE

Obtenemos las raíces de x 2 − 8x + 12 = 0 con dos fines: Primero,
factorizar el polinomio que aparece en el primer miembro y segundo,
determinar lastres zonas a estudiar para las que se verifica la inecuación:
2

2

x − 8x + 12 = 0 ⇒ x =

8 ± (−8) − 4 ⋅ 12
2

=



8 ± 16 x 1 = 6
=
, por lo que:
x 2 = 2
2



x 2 − 8x + 12 ≤ 0 ⇒ (x − 2)(x − 6) ≤ 0
Estos dos puntos determinan tres zonas: los valores menores o iguales
que 2, los valores comprendidos entre 2 y 6, ambos incluidos, y los
valores mayores o iguales que6. Veamos en cuáles de estas tres zonas se
satisface la inecuación:
zona 1

zona 2

zona 3

−

+

+

Vía rápida de solución:
La inecuación
(x − p)(x − q ) ≤ 0 , con

−
+

−

+

p < q , tiene por solución

−

+

el intervalos [p, q ]

(−∞, 2 ] [ 2, 6 ] [ 6, ∞)

(x − 2)
( x − 6)
(x − 2)(x − 6)
Conclusión:

Sólo la zona 2 satisface la ecuación, es decir, lasolución final es: x ∈ [ 2, 6 ]

4. x 2 + x − 6 > 0
Solución:
Obtenemos las raíces de x 2 + x − 6 = 0 con dos fines: Primero, factorizar
el polinomio que aparece en el primer miembro y segundo, determinar
las tres zonas a estudiar para las que se verifica la inecuación.
2

2

x + x−6 = 0 ⇒ x =

1 ± (−1) − 4 ⋅ (−6)
2

=


1 ± 25 x 1 = 3
=
, por lo que:


2
x 2 = −2
2

x + x − 6 > 0 ⇒ ( x − 3)(x + 2) > 0
zona 1

zona 2

zona 3

−

+

+

−

+

−

+

(−∞ , −2) (−2, 3) (3, ∞)

(x + 2)
(x − 3)
(x − 3)(x + 2)

J. Pascual

−
+

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Vía rápida de solución:
La inecuación
(x − p)(x − q ) > 0 , con
p < q , tiene por
soluciones los
intervalos
(−∞, p) ∪ (q, ∞)

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Ecuacionesno lineales resueltas

Conclusión:
La zona 1 y la zona 3 satisfacen la ecuación, es decir, la solución final es:
x ∈ (−∞ , −2) ∪ (3, ∞)

C. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

4x − 1 x

− ≥ 5

3
2

5.


x−5 x
+ >1 


3
2


Solución:
Se resuelve cada una de las inecuaciones lineales. El resultado final es la
intersección de ambas soluciones: 32

4x − 1 x
32
− ≥ 5 ⇒ 8x − 2 − 3x ≥ 30 ⇒ 5x ≥ 32 ⇒ x ≥
⇒ x ∈  , ∞



 5
3
2
5
x−5 x
a.2
+ > 1 ⇒ 2x − 10 + 6x > 6 ⇒ 8x > 16 ⇒ x > 2 ⇒ x ∈ (2, ∞)
3
2

a.1

Así que la solución es:

 32

 32

x ∈  , ∞ ∩ x ∈ (2, ∞) ⇒ x ∈  , ∞






 5
 5


x+3
5x − 3

− 2x >
− 2

2
3

6.


x−2
x+3
+1<
+x 


3
2

Solución:
Se resuelve cada una de las inecuaciones lineales. El resultado final es la
intersección de ambas soluciones:

x+3
5x − 3
27 
− 2x >
− 2 ⇒ 3x + 9 − 12x > 10x − 6 − 12 ⇒ x ∈ −∞ , 





2
3
19 
x−2
x+3
+1<
+ x ⇒ 2x − 4 + 6 < 3x + 9 ⇒ x ∈ (−1, ∞)
a.2
3
2

a.1

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