inecuaciones


Inecuación
En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.1 2 Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.
Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida paratodas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.
Ejemplo de inecuación incondicional: .
Ejemplo de inecuación condicional: .
Clasificación
Los criterios más comunes de clasificación de las inecuaciones son:
Según el númerode incógnitas,
De una incógnita. Ejemplo: .
De dos incógnitas. Ejemplo: .
De tres incógnitas. Ejemplo: .
etc.
Según la potencia de la incógnita,
De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: .
De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: .
De tercer grado o cúbica. Cuandoel mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: .
etc.
Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):




Sistema de inecuaciones



La región deviabilidad en un problema de programación lineal está definida por un sistema de inecuaciones.
En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.
Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Es un conjunto de inecuaciones de primer grado con la misma variable:

La solución del sistema será el conjunto denúmeros reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.


Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
<
menor que
2x − 1 < 7
≤
menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
>
mayor que
2x − 1 > 7
≥
mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta unmismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
Resolución deinecuaciones de primer grado
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones
5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, peroésta también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.
Inecuaciones de segundo grado
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación desegundo grado.

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero:
 
 
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0
(x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0
(x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0
(x +...