inecuaciones

UNIVERSIDAD TECNLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CALCULO 1 P.C.I.

INECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
Si a es un número real, el “Valor Absoluto” de a es:

− a , si a < 0

a = a =
 a , si a ≥ 0

2

PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO
Sean a y b son números reales. Entonces:
1
a = 0 si y solo si a = 0 .
2

Positividad: a ≥ 0

3

Desigualdadtriangular:

4

a ⋅ b = a ⋅ b (El valor absoluto del producto es igual al producto de los respectivos

a+b ≤ a+ + b

valores absolutos)
5

a
a
= , si b ≠ 0 (El valor absoluto del cociente es igual al cociente de los
b b

respectivos valores absolutos).
6

Si b ≥ o ,

a = b si y solo si ( a = b ∨ a = −b )

7

Si b ≥ o ,

a ≤ b si y solo si − b ≤ a ≤ b

8

Si b ≥ 0 ,

a ≥b9

Si b > o ,

a < b si y solo si − b < a ≤ b

10

Si b ≥ 0 ,

a >b

sí y solo sí ( a ≤ −b ∨ a ≥ b )
sí y solo sí ( a < −b ∨ a > b )

UNA PREGUNTA INTERESANTE: ¿Verdadero o Falso?
¿El valor absoluto de la suma es igual a la suma de los valores absolutos?
Escriba su respuesta y recuérdela ……. cuando resuelva ecuaciones e inecuaciones con
valor absoluto.

ECUACIONES EINECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO QUE SE PUEDEN
EXPRESAR EN UNA DE LAS SIGUIENTES “FORMAS TÍPICAS”:
u =b

u ≤b

u b

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CALCULO 1 P.C.I.

Donde u es una expresión que depende de la incógnita x y b es un número real mayor
o igual cero.
PROCEDIMIENTO
Se emplean las propiedades 6, 7 8, 9 ó 10, respectivamente obteniendo una ecuacióno
una inecuación EQUIVALENTE sin valor absoluto.
Luego, aplique procedimientos indicados en Taller anterior.

Ejemplos:
x +3 =1

1.

(forma típica u = b )

si y solo si
( x + 3 = 1 ∨ x + 3 = −1 )
si y solo si
( x = −2 ∨ x = −4 ).
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es:
S = {− 4,−2}.
2

según propiedad 6
¿…………………………?

(Este ejemplo muestra que en algunos casoaplicaremos otras propiedades de valor
absoluto, antes de llegar a una “forma típica”)
La inecuación
equivale con
si y solo si

10 − 5 x − 3 x − 6 ≤ 7

(− 5) ⋅ (x − 2) − 3 ⋅ (x − 2) ≤ 7
(− 5)⋅ (x − 2) − 3 ⋅ (x − 2) ≤ 7
x−2 ≤

si y solo si

7
2

acá factorizamos
¿……………………..?
¿……………………..?

(Acá llegamos a la forma típica u ≤ b con u = x − 2 y b = 7 )
si y solo si

− 7 ≤ x−2≤
27
2

− ≤x≤
si y solo si
Por lo tanto, el conjunto solución es de la inecuación es:
3
2

11
2

¿……………………..?
¿……………………..?

 3 11
S = − ,  .
 2 2

3.
ssi
ssi
ssi
ssi

x2 − x > 6

( x 2 − x < −6 ∨ x 2 − x > 6 )
( x2 − x + 6 < 0 ∨ x2 − x − 6 > 0 )
( x ∈ Φ ∨ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3) > 0 )
x ∈ ( ]− ∞,−2[ U ]3, ∞[ )
2

(forma típica u > b )
¿……………………..?
¿……………………..?¿…………y..………..?
¿……………………..?

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Por lo tanto, el conjunto solución es:
S = ]− ∞,−2[ U ]3, ∞[ .
2x − 5
(forma típica u ≤ b )
≤3
6x + 1
2x − 5
−3≤
≤3
ssi
¿……………………..?
6x + 1
2x − 5
2x − 5
≤3
−3≤
ssi
∧
¿……………………..?
6x + 1
6x + 1
2 x − 5 + 3 ⋅ (6 x + 1)
2 x − 5 − 3 ⋅ (6 x + 1)
≥0 ∧
≤0¿……………………..?
ssi
6x + 1
6x + 1
20 x − 2
− 16 x − 8
ssi
≥0 ∧
≤0
¿……………………..?
6x +1
6x +1
(Para obtener la siguiente equivalencia, obtenga los “cuadros de variación de signos” de
cada una de estas dos inecuaciones.)
1
ssi
x ∈ (]− ∞,− 1 [ U [10 , ∞[) I (]− ∞,− 1 ] U ]− 1 , ∞[)
6
2
6
(Repase Intervalos. Vea ejemplos de uniones e intersecciones)
1
ssi
x ∈ (]− ∞,− 1 ] U [10 , ∞[)
2
Por lotanto, el conjunto solución es:
1
S = ]− ∞,− 1 ] U [10 , ∞[ .
2

4.

ACTIVIDAD
Resuelva las siguientes inecuaciones:
1
x +1 = 7
2
1 − 4 x > 10

x 2 − 9 ≥ 16

8

1 − 3x
≥ 10
5x − 2
5 ⋅ 5 − 4x ≤ 2 − 4x − 5

x+3 +9 > 2

11

3 x − 5 + 101 ≤ 99

13

x −1 = 1− x

14

x 2 − 75 = 25 − x 2

16

x 2 + 75 < 25 − x 2

17

x 2 − 25 = 25 − x 2

4

x 2 − 5x...