INECUACIONES
Páginas: 5 (1170 palabras)
Publicado: 11 de mayo de 2015
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus
dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
<
menor que
2x − 1 < 7
≤
menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
>
mayor que
2x − 1 > 7
≥
mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
La
solución de una inecuación es el
conjunto de valores de la
variable que verifica la inecuación
. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:
1.
Una representación gráfica.
2.
Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞)
Criterios de equivalencia de inecuaciones
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número
, la inecuación resultante es equivalente a
la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número positivo
, la inecuación resultante
es equivalente a la dada.
2x < 6 2x ÷ 2 < 6 ÷ 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número negativo
, la inecuación resultante
cambia de sentido
y es equivalente a la dada.
−x
<
5 (−x) x (−1) > 5 x (−1) x
>
−5
Inecuaciones de primer grado
Resolución de inecuaciones de primer grado
Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º
Quitar corchetes.
2º Quitar paréntesis.
3º
Quitar denominadores.
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los
términos independientes en el otro.
5º
Efectuar las operaciones
6º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por
−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
7º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta
también podemos expresarla:
De forma gráfica:
Como un intervalo:
[3, +∞)
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de
representar la ecuación resultante
, que se obtiene al transformar
la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º
Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3 2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que
obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 ∙ 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 ∙ 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
3º
Al representar y unir estos puntos
obtenemos una recta
.
4º Tomamos un punto
, por ejemplo el (0, 0), los
sustituimos en
la desigualdad
.
Si se cumple, la solución es el semiplano
donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro
semiplano.
2x + y ≤ 3
2 ∙ 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3
Sí
2x + y > 3
2 ∙ 0 + 0 > 3 0 > 3
No
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no
pertenecen a la solución.
Inecuaciones de segundo grado
Consideremos la inecuación:
2
x
− 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.
2
x
− 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
2
P(0) = 0
− 6 ∙ 0 + 8 > 0
2
P(3) = 3
− 6 ∙ 3 + 8 = 17 − 18 < 0
2
P(5) = 5− 6 ∙ 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que
tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (∞, 2) (4, ∞)
2
x
+ 2x +1 ≥ 0
2
x
+ 2x +1 = 0
2
(x + 1)
≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la
solución es
2
x
+ 2x +1 ≥ 0
2
(x + 1)
≥ 0
2
x
+ 2x +1 > 0
2
(x + 1)
> 0
2
x...
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus
dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
<
menor que
2x − 1 < 7
≤
menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
>
mayor que
2x − 1 > 7
≥
mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
La
solución de una inecuación es el
conjunto de valores de la
variable que verifica la inecuación
. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:
1.
Una representación gráfica.
2.
Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞)
Criterios de equivalencia de inecuaciones
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número
, la inecuación resultante es equivalente a
la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número positivo
, la inecuación resultante
es equivalente a la dada.
2x < 6 2x ÷ 2 < 6 ÷ 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número negativo
, la inecuación resultante
cambia de sentido
y es equivalente a la dada.
−x
<
5 (−x) x (−1) > 5 x (−1) x
>
−5
Inecuaciones de primer grado
Resolución de inecuaciones de primer grado
Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º
Quitar corchetes.
2º Quitar paréntesis.
3º
Quitar denominadores.
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los
términos independientes en el otro.
5º
Efectuar las operaciones
6º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por
−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
7º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta
también podemos expresarla:
De forma gráfica:
Como un intervalo:
[3, +∞)
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de
representar la ecuación resultante
, que se obtiene al transformar
la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º
Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3 2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que
obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 ∙ 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 ∙ 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
3º
Al representar y unir estos puntos
obtenemos una recta
.
4º Tomamos un punto
, por ejemplo el (0, 0), los
sustituimos en
la desigualdad
.
Si se cumple, la solución es el semiplano
donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro
semiplano.
2x + y ≤ 3
2 ∙ 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3
Sí
2x + y > 3
2 ∙ 0 + 0 > 3 0 > 3
No
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no
pertenecen a la solución.
Inecuaciones de segundo grado
Consideremos la inecuación:
2
x
− 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.
2
x
− 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
2
P(0) = 0
− 6 ∙ 0 + 8 > 0
2
P(3) = 3
− 6 ∙ 3 + 8 = 17 − 18 < 0
2
P(5) = 5− 6 ∙ 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que
tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (∞, 2) (4, ∞)
2
x
+ 2x +1 ≥ 0
2
x
+ 2x +1 = 0
2
(x + 1)
≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la
solución es
2
x
+ 2x +1 ≥ 0
2
(x + 1)
≥ 0
2
x
+ 2x +1 > 0
2
(x + 1)
> 0
2
x...
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