INESTABILIDAD Y TRANSICIÓN

6. INESTABILIDAD Y TRANSICIÓN

OTOÑO 2004

6.1 Introducción
6.2 La ecuación de Orr-Sommerfeld
6.3 Inestabilidad no viscosa - ecuación de Rayleigh
6.4 Inestabilidad viscosa
6.5 Inestabilidad de flujos especiales
6.6 De la inestabilidad a la transición
6.7 Efecto de las perturbaciones de corriente libre
6.8 Predicción de la ingeniería de la transición
6.9 Control de la transición
6.10 ReferenciasEjemplos

6.1 Introducción
“Los flujos laminares tienen una debilidad fatal: poca resistencia a los números de Reynolds
altos” (White, 1991). El proceso de cambio de un flujo laminar suave a uno turbulento
caótico es denominado transición.
La amplificación (o lo contrario) de las pequeñas perturbaciones puede resolverse mediante la
teoría de la inestabilidad linealizada. Nótese, sin embargo, quela inestabilidad no conduce
necesariamente a la transición y las dos pueden estar separadas por una distancia significativa
en el sentido de la corriente.
En ciertas circunstancias (por ejemplo, un gradiente de presión muy favorable) una capa
límite puede en realidad relaminarisarse (“transición inversa”).

6.2 La ecuación de Orr-Sommerfeld
Esta es la ecuación diferencial fundamental que rige laestabilidad, derivada de forma
independiente por Orr (1907) y Sommerfeld (1908). Usted encontrará esta ecuación de nuevo
en el módulo opcional de Teoría de Estabilidad Hidrodinámica.
Considere una pequeña perturbación bidimensional en un flujo base plano-paralelo U(y).
Velocidad total: U + u = (U + u, v, 0)

Presión: P + p

Las ecuaciones de momento total y continuidad son:

momento:continuidad:
Reste el flujo base (que se supone que satisface las ecuaciones de movimiento) y linealice:

(1)

Si U = (U(y),0,0) la ecuación de perturbación del momento se reduce a:

Además u satisface la condición de no deslizamiento en las paredes y se asume que
desaparece en grandes distancias.
En sentido de las componentes tenemos
momento en x:
momento en y:
Tome

( )

( ) para eliminar presión:

Pero(incompresible)

y

(ψ una función del flujo)
Por lo tanto,

Dado que el problema es lineal, podemos investigar la evolución temporal de componentes
armónicos individuales:
Después, en términos del operador:

por lo tanto (7) se convierte en

o, dividiendo entre ik y escribiendo

para la velocidad de fase, se tiene la Ecuación de Orr-Sommerfeld

Ésta se escribe más regularmente en forma nodimensional:

donde las longitudes no se dimensionan con respecto a una longitud característica de
corriente transversal, por ejemplo δ, y velocidades con respecto a, por ejemplo, Ue.
Notas.
(1) Condiciones de frontera. Debido a que u y v desaparecen en las paredes y se asume que la
perturbación es localizada inicialmente,
en las paredes y en ±∞
(2) Dado que, tanto la ecuación y las condiciones defrontera, son homogéneas esto
constituye un problema de valores propios. Podemos considerar cualquier caso:
inestabilidad temporal: k real; ω = ωr + iωi

inestabilidad ωi > 0

inestabilidad espacial: ω real; k = kr + iki

inestabilidad ki < 0

(3) Se ha encontrado que, por ejemplo, en inestabilidad temporal, regiones distintas de
espacio k-Re dan valores propios inestables ω; éstos estándelimitados por las curvas neutras
(ver más adelante) con ωi = 0 y hay un valor mínimo de Re necesario para la inestabilidad.
(4) El teorema de Squire (Squire, 1933): para un flujo base paralelo bidimensional U(y), el
número de Reynolds mínimo inestable se produce para una perturbación de bidimensional
que se propaga en la misma dirección. Por lo tanto, en la medida en que buscamos el número
de Reynoldsmínimo en que se produce la inestabilidad, es apropiado utilizar el análisis 2-D.
(Nótese, sin embargo, que se puede mostrar que la tasa de amplificación máxima de las
perturbaciones realmente ocurre para las ondas que se propagan en un ángulo respecto al
flujo base.)
(5) Los términos del lado izquierdo de (10) proceden de los términos de inercia; los de la
derecha provienen de los términos de...