inferencia estadistica

Tema 5
Convergencia

Estadística I

Curso 2011-2012

ÍNDICE

1. Introducción
2. Convergencia de variables aleatorias
3. Teorema Central del Límite
4. Distribuciones derivadas de la normal

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1. INTRODUCCIÓN

Sean (Ω, A , P) un espacio probabilístico y
aleatorias definidas sobre él.

ξ1, ξ 2 , …, ξn n variables

Interesa desde el punto de vista matemático y desdeel punto de vista
probabilístico estudiar las posibles relaciones existentes entre ellas y si,
bajo ciertas hipótesis pueden estudiarse conjuntamente, es decir, es
posible estudiarlas como una única variable.
La respuesta a esta pregunta nos la da el Teorema Central del Límite o los
llamados “Teoremas Centrales del Límite”; algunos de estos teoremas
expresan el hecho de que la distribución dela suma de un número muy
grande de variables aleatorias independientes, en condiciones muy
generales, se aproxima a una distribución Normal.
Estos teoremas desvelan las razones por las cuales, en muchos campos
de aplicación, se encuentran distribuciones normales.
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ÍNDICE

1. Introducción
2. Convergencia de variables aleatorias
3. Teorema Central del Límite
4. Distribucionesderivadas de la normal

Pagina 4

2. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
2.1. Convergencia casi segura
Sean (Ω, A , P) un espacio probabilístico y

ξ1, ξ 2 , …, ξn n variables

aleatorias definidas sobre él, no necesariamente independientes, diremos
que la sucesión
aleatoria

{ξn }n∈N converge casi seguramente hacia la variable

ξ , definida también sobre (Ω, A , P)

c.s.
ξ. n
→ ξ , si y sólo si

y escribiremos así

.

P lim ξ n = ξ  = 1
 n→ ∞


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2. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
2.2. Convergencia en probabilidad
Sean (Ω, A , P) un espacio probabilístico y

ξ1, ξ 2 , …, ξn n variables

aleatorias definidas sobre él, no necesariamente independientes, diremos
que la sucesión
aleatoria

{ξn }n∈N

converge en probabilidadhacia la variable

ξ , definida también sobre (Ω, A , P)

p
ξ. n →
ξ , si y sólo si

∀ε > 0

y escribiremos así
.

(

)

lim P ξ n − ξ < ε = 1

n→∞

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2. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
2.3. Convergencia en distribución
Sean (Ω, A , P) un espacio probabilístico y

ξ1, ξ 2 , …, ξn n variables

aleatorias definidas sobre él, no necesariamenteindependientes, diremos
que la sucesión
aleatoria

{ξn }n∈N

converge en distribución hacia la variable

ξ , definida también sobre (Ω, A , P)

y escribiremos así

d
ξ. n →
ξ , si y sólo si la correspondiente sucesión de funciones de
distribución de las ξ n, {Fn }n∈N , converge hacia la función de distribución F
de la variable aleatoria ξ en todo punto x de continuidad de la función:

∀ x/ F( x + ) = F( x + ) = F( x ) ⇒ lim Fn ( x ) = F( x )
n→ ∞

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2. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
2.4. Convergencia en media de orden r
Sean (Ω, A , P) un espacio probabilístico y

ξ1, ξ 2 , …, ξn n variables

aleatorias definidas sobre él, no necesariamente independientes, diremos
que la sucesión

{ξn }n∈N

variable aleatoria

ξ , definida también sobre (Ω, A , P)y escribiremos así

converge en media de orden r > 0 hacia la

mr

ξ. n →
 ξ , si y sólo si

.

r

lim E ξ n − ξ  = 0

n→ ∞ 

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2. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
2.5. Relaciones entre los tipos de convergencia
Sean (Ω, A , P) un espacio probabilístico y

ξ1, ξ 2 , …, ξn n variables

aleatorias definidas sobre él, no necesariamente independientes,entonces:
i. la convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad:
c.s.
ξ n 
→ ξ

p
ξ n →
ξ

⇒

ii. la convergencia en media de orden r implica la convergencia en
probabilidad:
mr

ξ n →
 ξ
iii. la

p
ξ n →
ξ

⇒

convergencia

en

probabilidad

implica

la

convergencia

en

distribución:
p
ξ n →
ξ

⇒

d
ξ n →
ξ...