Infinito

Boletín Vol. I, Nº2, Año 1994

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El concepto de infinito
José Ramón Ortiz
Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética: hablo del infinito. Jorge Luis Borges

Introducción Histórica ¿Cuantas almas caben en un centímetro cubico? ¿Cuántos ángeles pueden bailar en la punta de una aguja? De acuerdo con Wittgensteinesta clase de preguntas no tenían ninguna aplicación porque, mientras ellas conjuran una «imagen» (picture), con esta imagen no podemos hacer nada. Según Wittgenstein, lo mismo podía ser dicho del infinito: «la clase de todas las clases equinumerable con la clase de series infinitas» , así como «la clase de todos los ángeles que caben en la punta de una aguja», es vacía en tanto no se encuentre unuso para ella. Tal uso, todavía, no sólo no ha sido descubierto, sino que debe ser inventado. ( p. 59e) Por su parte Poincare exclamaba: ¿Es posible razonar sobre objetos que no pueden ser definidos en un número finito de palabras? ¿Es posible aún hablar de ellos y saber que lo que hablamos tiene algún sentido? ¿O por el contrario, deben ser considerados inconcebibles? Para mí, no dudo enconsiderarlos mera nada. ( p.60)

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Asociación Matemática Venezolana

Y Hilbert llamaba al orden en su artículo «Sobre el Infinito»: al clarificar la idea de infinito debemos tomar aún en consideración un aspecto más general del problema. Si miramos con atención, encontramos que la literatura matemática está llena de absurdos y sinsentidos, que normalmente son achacados al infinito. Así porejemplo, algunos enfatizan la estipulación, como una condición restrictiva, que, si queremos mantener el rigor matemático, sólo un número finito de inferencias es admisible en una prueba —como si hubiera habido alguien capaz de llevar a cabo un número infinito de inferencias. (Van Heijenoort, p. 370) Uno de los logros más grandes de la matemática como lenguaje ha sido su propio coraje imaginativo paraenfrentar el concepto más innaccesible y paradójico que haya podido pretender la fragilidad temporal del intelecto humano: el concepto de infinito. Casi podríamos decir que la matemática es el lenguaje que pretende hablar del infinito, o la ciencia que pretende medir el infinito. Vulgarmente se utiliza la palabra infinito para denotar algo muy grande, ilimitado, o imposible de contar. Pero elinfinito va más allá de lo «muy grande» y de la posibilidad humana (temporal) de contar. La noción de infinito como idea de algo ilimitado o inalcanzable, ha sido una fuente de confusión a través de la historia. Perturbó a los antiguos griegos, quienes trataron inútilmente de comprenderlo sometiendo el infinito a la intuición del sentido común, la cual, lamentablemente, estaba inspirada en un mundofinito y, generalmente, los condujo a conclusiones contradictorias y paradójicas, como la famosa carrera donde Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

Boletín Vol. I, Nº2, Año 1994 Para Platón y Pitágoras el infinito era apeiron, el caos, el infinito carecía de medida: metron. La voz «apeirón» tal como la emplea Anaximandro, significa «sin fin» o «sin límite», suele traducirse como «lo infinito», «loindefinido», «lo ilimitado». La idea del infinito también fue rechazada por Aristóteles y los escolásticos, basados en las mismas contradicciones que el concepto de infinito generaba. Uno de los típicos argumentos esgrimido en contra del infinito era el conocido como la «aniquilación de los números», según este argumento los números finitos serían absorvidos por los números infinitos, es decir,para todo número finito a, a+∞ = ∞ y de esta forma los números infinitos aniquilaban a los números finitos. Aristóteles trató de enfrentar el problema del infinito a través de dos representaciones, dos concepciones complementarias y cuya interacción dialéctica ha influido el propio desarrollo de la matemática. En el tercer libro de su obra Física, Aristóteles distingue dos tipos de infinito; el...