informe

Cap´
ıtulo 10

Ecuaciones en derivadas
parciales I:
Matlab PDE toolbox
Contenidos del cap´
ıtulo
10.1. Bases del m´todo de los elementos finitos . . . . . . . . . . 142
e
10.2. Usando la interfaz gr´fica de la PDE toolbox . . . . . . . . 143
a
10.2.1. Men´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
u
10.2.2. Barra de herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 145
10.3. Definici´n de geometr´ complicadas . . . . . . . . . . . . 146
o
ıas
10.3.1. Creando esquinas redondeadas . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.4. M´todo sugerido de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
e
10.5. Ejemplos de problemas el´
ıpticos: la ecuaci´n de Poisson . 149
o
10.6. Ejemplos de problemas parab´licos: la ecuaci´n del calor 149
o
o
10.7.Ejemplos de problemas hiperb´licos: la ecuaci´n de ondas 151
o
o
10.8. Ejemplos de problemas de autovalores: modos de vibraci´n152
o

Muchos de los problemas estudiados por diversas disciplinas de la ingenier´ como
ıa
la mec´nica de medios continuos, el electromagnetismo, la transferencia de calor . . . ,
a
involucran el estudio de magnitudes que evolucionan no solamente en tiempo sinotambi´n en las variables espaciales. Por esta raz´n, la formaci´n de un ingeniero
e
o
o
no debe cubrir unicamente el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, sino
´
tambi´n el modelado de sistemas mediante ecuaciones en derivadas parciales. Sin
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embargo, en muy pocas ocasiones puede obtenerse una soluci´n anal´
o
ıtica a estos
problemas, especialmente cuando el dominiocomputacional presenta una geometr´
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complicada. Aunque existen varios enfoques distintos para la resoluci´n num´rica de
o
e
estos problemas, quiz´ el m´s extendido en la comunidad ingenieril es el m´todo de
a
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los elementos finitos. En este cap´
ıtulo analizamos las funcionalidades que Matlab
incorpora en este campo mediante su toolbox para ecuaciones en derivadas parciales.
141
Versi´n del29/10/2004
o
http://matematicas.uclm.es/ind-cr/him/index.html

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Herramientas inform´ticas de las matem´ticas en ingenier´
a
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Figura 10.1: (Izquierda) Malla generada con elementos triangulares. (Derecha) Funci´n lio
neal continua a trozos sobre esa malla.

10.1.

Bases del m´todo de los elementos finitos
e

Incluso la soluci´n de ecuaciones en derivadas parcialessencillas en geometr´
o
ıas
complicadas raramente puede expresarse en t´rminos de funciones elementales. De
e
este modo, nos enfrentamos a dos problemas: en primer lugar, la necesidad de describir
una geometr´ complicada y generar una malla en ella. Una vez que se ha realizado
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el mallado, discretizar la ecuaci´n en derivadas parciales en esta malla y resolver la
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ecuaci´n para laaproximaci´n discreta de la soluci´n. La interfaz gr´fica de Matlab
o
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pdetool, parte de la “PDE toolbox”, proporciona una herramienta gr´fica de f´cil
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manejo para la descripci´n de estas geometr´ complicadas, generaci´n de mallas,
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resoluci´n de la ecuaci´n discretizada y representaci´n de resultados. A continuaci´n
o
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se presenta un peque˜o resumen de las bases en laque se fundamenta la misma, el
n
m´todo de los elementos finitos (FEM).
e
El punto de inicio es aproximar el dominio computacional Ω como la uni´n de
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objetos geom´tricos sencillos, en este caso tri´ngulos. Seguidamente se impone que
e
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la soluci´n deber´ ser simple en cada uno de los tri´ngulos. Los polinomios son una
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buena elecci´n: son f´ciles de evaluar y tienen buenaspropiedades de aproximaci´n
o
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en dominios peque˜os, pudi´ndose conseguir conectar las soluciones sobre los lados
n
e
de tri´ngulos vecinos de modo que se consiga una soluci´n aproximada continua. Para
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ello debemos elegir el orden de los polinomios que vamos a emplear. Si emple´semos
a
constantes su evaluaci´n en cada tri´ngulo ser´ muy sencilla, pero no podr´
o
a
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ıamos...