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Inducción Matemática
En muchas ocasiones nos encontramos con problemas donde debemos demostrar proposiones como:

2 N se cumple 1 + 2 +

(2) Mostrar que para todo n

2 N se cumple (n 2) = n2n
X
2 N se cumple
(2k 1) 3k = (n

(3) Mostrar que para todo n

n=

1
n (n + 1)
2
4n + 4

(1) Mostrar que para todo n

2

1) 3n+1 + 3

k=1

Este tipo de problemas donde debemosprobar que se cumple para todo valor de cierto parámetro "n",
podemos hacer uso de la inducción para su prueba, la cuál se basa en el siguiente axioma
Axioma (Principio de inducción matemática)
Seael subconjunto S N con la propiedad que:
1. 1 2 S
2. Para todo k 2 R; si k 2 S implica que k + 1 2 S
Entonces S = N

La primera parte del axioma (1) se llama la base de la inducción y la segundaparte del axioma se
llama la parte inductiva.
Este principio se usa para las pruebas de las proposiciones anteriormente mencionadas y podemos
resumirla de la siguiente manera
Sea P (n) laproposición a probar
(a) Mostrar que P (1) es verdadero
(b) Mostrar que si P (k) es verdadero entonces P (k + 1) es verdadero
con lo cuál concluimos que P (n) es verdadero para todo n 2 N
Ciertosdemostraciones requieren unas variantes del método clasico de inducción matemática, como
por ejemplo el siguiente problema
Problema
Probar que
8n 2 N : n

13 se tiene que n2 <

3
2

n

Es claro queesta proposición no es válida para n = 1; es más, la proposición suguiere que el primer
natural en cumplir con la proposición es n = 13: Por tanto necesitanos algo mas que el principio básico
deinducción.

Variante del principio de inducción matemática.
Si S

N tiene las propiedades

1. n0 2 Z+

1

2. 8n 2 Z; n

n0 ; n 2 S ! n + 1 2 S

entonces fn 2 Z; n

n0 g = S

Con estageneralización estamos en condiciones de resolver el problema
veri…canos que se cumple para n = 13; esto es
13

3
2

132 <

compruebe que esto es verdadero
ahora suponemos que la...