Ingenieria en Telematica

l Teorema Fundamental del Cálculo
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b], entonces
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

Demostración Teorema Fundamental del CálculoTeorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte
Si es continua en , la función esta definida por:

es continua en

y derivable en:

y

DEMOSTRACIÓN

Si y están en , entonces:Ecuación 2

y así, cuando ,

suponemos que
,

Dado es continua


Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, y en , tales que y , en donde y son losvalores mínimo y máximo absolutos de en .
De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

es decir,

como , podemos dividir esta desigualdad entre :

Ahora emplearemos la ecuación 2 yuniéndola con la ecuación anterior obtendremos:
Ecuación 3

Ahora hacemos que
.
Entonces:
y

.
Como y existen entre y , decimos que:

Debido a que f es continua en x, Usandola ecuación 3 y la ley de extremos y medios llegamos a la conclusión de que:
Ecuación 4

Si , podemos decir que es un limite unilateral. Si es diferenciable en , entonces es continua en ,modificado para limites unilaterales podemos decir que es continua en
Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Calculo, 1era Parte de la forma:
.Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte
Si es continua en , entonces:

en donde es cualquier antiderivada de , esto es, .

Sea

Sabemos que

Si es cualquier antiderivadade en , donde F y g difieren en una constante.

Decimos que :










Ejemplos
Ejemplo 1
Determine

SOLUCION
Utilizando la regla de la cadena y el teorema fundamental delcálculo parte 1, donde .




Ejemplo 2
Evalúe la Integral

SOLUCION
La , es continua en todos los números y que una antiderivada es , entonces utilizando el Teorema Fundamental del Calculo...