Graduado En Ingeniería Telemática

´ CALCULO I, Ingenier´ Telem´tica. Curso 2009/2010. ıa a

1.1 La recta real
Clases de n´meros u • N = {(0), 1, 2, 3, · · · }. Propiedades: (+) asociativa, conmutativa, elemento neutro (0), (·)asociativa, conmutativa, elemento neutro (1), (+, ·) distributiva. Problema: x + 3 = 0 no tiene soluci´n x ∈ N. o • Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, · · · }. Propiedades: (+) elemento inverso. Problema: 2x +3 = 0 no tiene soluci´n x ∈ Z. o p : p, q ∈ Z, q = 0}. q Propiedades: (·) elemento inverso salvo para el 0. Problema: x2 − 2 = 0 no tiene soluci´n x ∈ Q. o • Q={ • R = Q ∪ { n´meros con infinitascifras decimales no peri´dicas } (en principio). u o Propiedades: Completitud. Problema: x2 + 2 = 0 no tiene soluci´n x ∈ R o n´meros complejos!! u M´todos de demostraci´n matem´tica e o a - Demostraci´ndirecta. P ⇒ Q. o - Demostraci´n por reducci´n al absurdo. P ⇒ Q es equivalente a (no Q) ⇒ (no P ). o o - Demostraci´n por inducci´n. o o Principio de inducci´n: La propiedad Pn es cierta para todo n∈ N o si se verifica i) P1 es cierta; ii) si Pk es cierta tambi´n lo es Pk+1 . e Desigualdades. Valor absoluto Relaci´n de orden. Cada a ∈ R verifica una y s´lo una de: a > 0, a = 0, a < 0. o o a > b ⇔ a− b > 0. a ≥ b ⇔ a > b o a = b. a > b y c > 0 ⇒ ac > bc. x si x ≥ 0, - Valor absoluto |x| = −x si x ≤ 0. |a| ≥ 0 ∀ a ∈ R. |a| = 0 ⇔ x = 0. |ab| = |a| · |b|. |a + b| ≤ |a| + |b|. √ a2 = |a|. - Distanciadist(a, b) = |a − b|.

Intervalos. Subconjuntos de R - (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Abierto. - [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Cerrado. - A ⊂ R es acotado superiormente si ∃ M ∈ R : x ≤ M ∀ x ∈ A. Mse denomina cota superior. An´logo inferiormente. Se dice que es acotado si lo es superior e inferiormente. a Principio de completitud: Todo conjunto de R acotado superiormente posee una cotasuperior m´ ınima, denominada supremo. An´logo a para ´ ınfimo. - Si sup(A) ∈ A entonces se denomina m´ximo. An´logo para m´ a a ınimo. Equivalencia de notaci´n o {x ∈ R : dist(x, −1) ≤ 4} = {x ∈ R : |x...