ingenieria

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0. Generalidades

CAP
TULO 0: GENERALIDADES
I
1 Noci
n de matriz polinomial
o
Consideremos una matriz L cuadrada de orden n cuyos coe cientes son polinomios
en la variable  y a coe cientes complejos:

0 p  : : : p  1
1n
B 11..
. C 2 MnnC  
. A
L = @ .
.
pn1  : : : pnn

Esto es, pij  2 C  , y para todo 0 2 C , L0  2 MnnC.

De nici
n 1:o
La matriz L se denomina matriz polinomial o  -matriz.

Ejemplo 1:
N
tese que
o

L =

 3 +  + 2

2+
, + 22 3



`
` + A`,1 `,1 + : : : + A1  + A0 = X Ai i
L = A` 
i=0

donde ` es el grado del polinomio pij  de L de mayor grado.

Es decir, L es un polinomio de grado ` cuyos coe cientes son matrices cuadradas
a coe cientes complejos.

© losautores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones
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Introducci
n a la teor
a de matrices polinomiales
o



Ejemplo 2:
a Considerando L de nida en el ejemplo 1,




2 1 0 + 1 1 + 3 2
L =  2 0
,1 0
0 3
b Sea A 2 MnnC. La matriz L = A , I es una matriz polinomial.
c Toda matriz A 2Mnn C puede ser vista como caso particular de matriz polinomial de grado cero.

De nici
n 2:
o
Diremos que una matriz polinomial L es m
nica si y s
lo si A` = In .
o
o

Ejemplo 3:
a La matriz polinomial

1 0

1






1
3 2
0 1 +  ,1 0 + 0 3
es m
nica; no as
la matriz polinomial considerada en el ejemplo 2 a.
o



L = 2

b I , A es unamatriz polinomial m
nica; no as
A , I .
o



De nici
n 3:
o
Dada una matriz polinomial L, diremos que es regular si det L no es id
nticamente
e
nulo.
N
tese que si L no es regular los coe cientes del polinomio det L son todos
o
id
nticamente nulos.
e

Ejemplo 4:
La matriz polinomial A , I es siempre regular el polinomio caracter
stico de una


matriz tienegrado n .

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

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0. Generalidades

2 Operaciones con matrices polinomiales
Matrices polinomiales del mismo orden pueden ser sumadas y multiplicadas con las
operaciones habituales de suma y producto de matrices; y en cada caso se obtiene otra
matriz polinomial.

Ejemplo 1:
Sean L1 =

 2 +  , 2
2 + 22







1 ,  , L = 1  .Entonces su suma es:
2
,
2 ,



 2
L1 + L2  = 32+ + , ,1 
 3 2 2
y su producto es:





2 +  3
+ 2 2 , 3
L1
L2 = 2 + 2,, 3  32  23
2
+



Proposici
n 1:
o
El conjunto de matrices polinomiales del mismo orden, con las operaciones de suma y
producto, tiene estructura de anillo.

De nici
n 1:
o
Diremos que una matriz polinomial L1  esinversible si existe una matriz polinomial
L2  del mismo orden que L1  tal que

L1 
L2  = L2 
L1  = I
La matriz polinomial L2  la llamaremos matriz polinomial inversa de L1  y escribiremos
L2  = L1 ,1

Proposici
n 2:
o
Una matriz polinomial L es inversible si y s
lo si
o

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

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Introducci
n a lateor
a de matrices polinomiales
o



det L = a 2 C; a 6= 0

Demostraci
n:
o
Se deja, como ejercicio, para el lector.

De nici
n 2:
o
Una matriz polinomial L se dice que es unimodular si
det L = a 2 C; a 6= 0
Despu
s de esta de nici
n, la proposici
n anterior puede enunciarse de la siguiente
e
o
o
manera:

Proposici
n 3:
o
Una matriz polinomial L es...