Ingenieria

Método de la Bisección

Unas cuantas iteraciones del método de bisección aplicadas en un intervalo [a1;b1]. El punto rojo es la raíz de la función.
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.
Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición pararesolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f (a) y f (b). Esto es que todo valor entre f (a) y f (b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f (a) y f (b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valorintermedio entre f (a) y f (b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f (p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente
• Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f (x) en el intervalo [a,b]
• A continuación se verifica que [pic]
• Se calcula el punto medio m delintervalo [a,b] y se evalúa f (m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
• En caso de que no lo sea, verificamos si f (m) tiene signo opuesto con f (a) o con f(b)
• Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
• Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrandola solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

[pic]
en la n-encimaiteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

Ejemplo

Para aplicar el método consideremos tres sucesiones [pic]definidas por lassiguientes relaciones:
[pic]
Donde los valores iniciales vienen dados por:
[pic]
Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del intervalo:
[pic]


Método de Newton

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de losceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.



Descripción del Método




[pic]

La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que xn+1 es una mejor aproximación que xn para la raíz x de la función f.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en elsentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de lapropia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método lineaniza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el...