ingenieria

Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo:

Índice
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1 Una descripción informal2 Procedimiento
3 Ejemplo
4 Análisis de error para el método de Euler.
5 Referencias
Una descripción informal[editar]
Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a lacurva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemostomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el errorentre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).
Procedimiento[editar]
Consiste en dividir los intervalos que va de  a  en  subintervalos de ancho ; o sea:

de manera que se obtiene unconjunto discreto de  puntos:  del intervalo de interés . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

 .

La condición inicial , representa el punto  por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como .
Ya teniendo el punto  se puede evaluar la primera derivada de  en ese punto; por lo tanto:





Gráfica A.
Con esta información setraza una recta, aquella que pasa por  y de pendiente . Esta recta aproxima  en una vecindad de . Tómese la recta como reemplazo de  y localícese en ella (la recta) el valor de  correspondiente a . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:



Se resuelve para :


Es evidente que la ordenada  calculada de esta manera no es igual a , pues existe un pequeño error. Sin embargo, elvalor  sirve para que se aproxime  en el punto  y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Ejemplo[editar]

Calculamos el valor de  tomando en cuenta que el  valor de divisiones es de ; por lo tanto quedaría así:


Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto:

Los valores iniciales de  y  vienendados por:
, .
Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método. Se harán aproximaciones de hasta trece decimales. La función seno se evaluará en grados.

Por lo que el resultado obtenido es: ; posteriormente procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la ecuación que es .
Finalmente se calcula el error relativo:

Análisis de error para el método deEuler.[editar]


Gráfica B.
La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos de errores:
Error del Método (Error de Truncamiento Local y Global): Este se debe a que, cómo la aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio del método. En este caso, el error es de primer orden - O(h1) -

Local: Es la...