Ingenieria

Instituto Tecnológico Superior de Monclova
Instituto Tecnológico Superior de Monclova

ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 4 Y 5

ING. EN GESTION EMPRESARIAL NOCTURNO -

ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 4 Y 5

MARTHA VICTORIA MARTINEZ RIVERA.

PROF. REYES CORONADO

ING. EN GESTION EMPRESARIAL NOCTURNO - 21.NOV.2012

4.1 Definición de espacio vectorial.

Sean K un cuerpo dado y V un conjuntono vacio, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas.

[A1] para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).
[A2] existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vectorcero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.
[A3] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.
[A4] para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.
[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.
[M2] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.
[M3] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).[M4] el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende del orden de lossumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define según u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la <<acción>> del cuerpo K sobre V. obsérvese que la rotulación de los axiomas reflejaeste desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.
Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.
Si ku=0, donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku
4.2 Definición de subespacio vectorial ysus propiedades.

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es unsubespacio de V si y solo si se cumple:
0єW
W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.

Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:
0єW.
au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Ejemplo: sean U y W subespacios de un espaciovectorial V. probemos que la intersección UÇW es también subespacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y W son subespacios, de donde 0ÎUÇW. supongamos ahora que u, vÎUÇW. entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuÎU y u+v, kuÎW para cualquier escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es un subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma...