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LOS NÚMEROS NATURALES


Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: N={1,2,3,4...}

Con los números naturales N se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los númerosnaturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir el conjunto cuando x es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de losracionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales x e y , o bien x ≤ y , o bieny ≤ x
Todo subconjunto A no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es existe un elemento x ε A tal que para todo y de A se tiene x ≤ y .
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.
Principio de inducción matemática: si un subconjunto A de N de verifica que 1 ε A y, si , x ε Aresulta que x + 1 ε A , entonces A = N.
Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo n natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los n primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

Para n = 1 es claro que la suma de los 1primeros números naturales es
Suponiendo cierta la fórmula para n es decir,

, veamos que también es cierta para n + 1 ,


Luego la fórmula es válida para todo n natural.

Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:






Dados dos números naturales n > m no escierto en general que exista un natural c tal que n = cm . Si tal c existe se denomina cociente exacto de n por m , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que n es divisible por m , o que m es un divisor de n , o que n es un múltiplo de m .
Cuando no es así, siempre es posible encontrar c y r que verifiquen n = cm + r con r < m.
Los números n,m ,c y r sedenominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar r y c a partir de m y n se denomina división entera.

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS:

Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.

Hayinfinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.




El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos).Todo número natural admite una descomposición en producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos ejemplos.


Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas...