Ingeniero industrial

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Oblique Cone: The Curve of Claveria

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Pedro L. Clavería Vila
Zaragoza, Spain PLCV & Oblique Cone in Berlin claveria.p@iies.es NCB Deposit # 63

The Curve of Clavería
Celebrating The 2008 International Exposition Zaragoza Oblique Cone

The Curve of Clavería (COC)

La Historia
Bueno, empecemos con la curva, y para ello haremos un poco dehistoria. Hace muchos años yo trabajaba en un taller de calderería en el que se fabricaban cuerpos metálicos 3D (tolvas, bifurcaciones, cilindros, conos, prismas, pirámides, etc) partiendo de chapas metálicas planas (sheet metal). Había un cuerpo que me atrajo su atención por su simplicidad y dificultad de desarrollarlo en el plano: EL CONO OBLICUO (when the vertex of a cone is not aligneddirectly above the center of its base) see figures 1

figure 1. Oblique cone

La Curva
La técnicas habituales para desarrollar el cono oblicuo en el plano se basan en procedimientos gráficos aproximados, tal como nos enseña la geometría descriptiva. En la web http://roger.speranza.free.fr/html/cone_oblique.html podemos ver un ejemplo de un procedimiento gráfico. Bien, pero la pregunta que me hiceera: si la directriz del cono es una circunferencia de radio r y cortamos el cono por una generatriz desarrollándolo en el plano ¿cual es esa nueva curva? ¡mi curva!, que he llamado Curve of Clavería (COC). Su conocimiento analítico nos permitiría hacer una desarrollo del cono mucho más preciso.

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figure 2. Definition de la Curve of Claveria (COC)

Las Propiedades
La forma de la COC ya es conocida por la geometría descriptiva, figura 3, pero ¿cual es su ecuación?

figure 3. Curve of Claveria (COC)

Observando la figura 3 podemos ver las siguientes características de la curva: 1. es simétrica 2. existen dos puntos de inflexión (P, E) 3. existen tres puntos enlos cuales el radio vector de la curva es perpendicular a su recta tangente (K, A) Además, cuando el cono es recto sabemos por geometría elemental que la curva COC es muy sencilla: arco de circunferencia, fig. 4

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figure 4. Curve of Claveria (COC). Right cone

LaEcuación
Para determinar la ecuación de la COC tendremos en cuenta que en las superficies desarrollables (conos, cilindros, superficies tangenciales) se conserva constante la longitud de una curva perteneciente a ella cuando la superficie la desarrollamos en el plano, luego ya sabemos la longitud de COC : 2πr

figure 5. Longitud de la COC

Coordenadas polares parametricas
Para seguir avanzando enel conocimiento de la COC determinaremos su radio vector y su ángulo polar. Para esto consideramos como parámetro de la curva el ángulo t:

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figure 6. Coordenadas polares parametricas de la COC

1. Radio vector, ρ(t) Será la distancia entre el vértice del cono y un puntode su generatriz (1)

figure 7. Generatriz del cono oblicuo vs radio vector de la COC

2. Angulo polar, θ(t) Consideraremos un trozo pequeño (diferencial) de nuestra curva en 3D y 2D, resultando, ver figura 8 ds = r dt ds2 = dρ2 + (ρdθ)2 3D 2D

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figure 8. Angulopolar de la COC

luego,

sustituyendo el valor ρ e integrando,

(2) desgraciadamente este integral es elíptica[1] y no se puede resolver en términos de funciones elementales. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen la formulación de COC en coordenadas polares parametricas. En coordenadas parametricas cartesianas tendríamos (3) (4)

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