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Documento de Trabajo 05/00 Leyes estocásticas de capitalización y descuento. Compatibilidad bajo el criterio de la esperanza Antonio Alegre Universidad de Barcelona Rosa Mayoral Universidad de Valladolid

Programa Interuniversitario de Doctorado “Nuevas Tendencias en Dirección de Empresas” Universidad de Burgos • Universidad de Salamanca • Universidad de Valladolid

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Leyes estocásticasde capitalización y descuento. Compatibilidad bajo el criterio de la esperanza.
Antonio Alegre Universidad de Barcelona. Rosa M. Mayoral Universidad de Valladolid

Resumen: En este trabajo hemos partido de la hipótesis de que el tanto instantáneo que da el precio de la operación de financiación evoluciona estocásticamente en el tiempo. Hemos considerado un modelo en el que es constante peroafectado por una volatilidad planteada como ruido blanco con parámetro de intensidad constante. Se trata la capitalización y el descuento con periodo ∆t dentro del cual el precio efectivo se calcula como integral del tanto instantáneo resultando para el modelo estocástico un proceso browniano aditivo. Tanto en la capitalización como en el descuento se ha considerado que el pago del precio periódico serealiza de una sola vez, en la capitalización al final del periodo y en el descuento al inicio, no considerándose la valoración financiera del efecto producido por el hecho de aplazar o anticipar el pago del precio. Asimismo, se obtiene el factor financiero de capitalización y descuento como una variable aleatoria producto de normales independientes determinándose también sus esperanzas yvarianzas. Previamente a la definición del factor de descuento se revisan los que más habitualmente aparecen en la literatura financiero-actuarial, y se analiza su compatibilidad con el factor de capitalización estocástica, bajo el criterio de la esperanza. Con ello, en el trabajo proponemos una definición alternativa del factor de descuento estocástico que sí verifica la mencionada compatibilidad. Unavez analizados la capitalización y descuento discretos hemos considerado el caso continuo planteando la correspondiente ecuación diferencial estocástica. Palabras clave: proceso de Wiener, integral estocástica, ecuación diferencial estocástica, criterios de decisión. Antonio Alegre Universidad de Barcelona. Av. Diagonal, 690, 08034 BARCELONA e-mail: aalegre@eco.ub.es Rosa M. Mayoral Universidad deValladolid. Av. Valle Esgueva, 6, 47011 VALLADOLID e-mail: rmayoral@eco.uva.es

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1. Comportamiento estocástico del tanto instantáneo En este epígrafe, definimos el comportamiento estocástico del tanto instantáneo que vamos a considerar y que resulta de añadir una componente perturbadora de ruido blanco a una tendencia constante ρ . El ruido blanco queda caracterizado como la derivadaestocástica del proceso de Wiener,1 con lo que siendo σ el parámetro de volatilidad, resulta,2 dW(τ ) ρ (τ ) = ρ +σ ⋅ dτ El interés acumulado en un periodo ∆ t vendrá dado por la integral estocástica de ρ (τ )

∫

t +∆t

t

( ρ ⋅dτ +σ⋅dW(τ )) =ρ ⋅∆t +σ⋅W(∆t )

Con lo que el precio devengado durante el periodo ∆ t en este modelo estocástico coincide con el del modelo cierto ρ ⋅ ∆ t más unaperturbación Normal de esperanza nula y varianza

σ 2 ⋅∆ t .
2. Capitalización estocástica Antes de abordar el análisis de la capitalización con intereses estocásticos, recordaremos el planteamiento del enfoque determinista para así poder establecer de forma más sencilla el paralelismo entre ambos. En el modelo con intereses ciertos de la Matemática Financiera encontramos un análisis sistemático delas operaciones de capitalización y descuento que más frecuentemente se dan en el mercado, considerando siempre que el tipo de interés a aplicar en las mismas está perfectamente determinado desde el origen de la operación. En principio, retomaremos el planteamiento para la obtención del factor financiero de interés compuesto a tanto constante, teniendo en cuenta que el plazo total de la...