ingeniero





CURSO DE NIVELACION DE CARRERA

CONSULTA DE GEOMETRIA PLANA


TEMA: LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

DOCENTE: ING. OSWALDO VILLAGRAN

ALUMNO: CHRISTIAN BELTRAN

CURSO: C-210


FECHA DE ENTREGA: 11/12/2013


SANGOLQUI-ECUADOR



CIRCUNFERENCIA

Definición
Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
centro.La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de
radio.

Ecuación de la circunferencia

A partir de la definición deduciremos la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el
origen de coordenadas y radio R.
Si P(x, y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:
d(P,O) x y R 2 2 = +=
Elevando al cuadrado se obtiene
2 2 2
x + y = R
que es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio R.
Te proponemos que deduzcas la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el punto de
coordenadas C(a, b) y radio R.

Elementos distintivos de la circunferencia
Los elementos que distinguen a las circunferencias son su centro y su radio.Gráfica de la circunferencia













Ejemplo 1:
Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en el punto C(2, – 3) y radio 5. Grafica.
Todo punto que pertenezca a la circunferencia debe estar a distancia 5 del punto C(2, – 3), por lo
tanto debe verificarse que:

d(P, C) = (x 2) (y ( 3)) (x 2) (y 3) 5 2 2 2 2 − + − − = − + + =
Elevando alcuadrado se tiene:

(x – 2)2
+ (y + 3)2
= 25







Ejemplo 2:
Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en C(1, – 6), sabiendo que el punto P(2, 3)
pertenece a la gráfica de la circunferencia.
Si el punto P está en la gráfica podemos usar este dato para hallar el radio de la circunferencia pues
R = d(P, C) = (2 1) (3 ( 6)) 1 81 82 2 2 − + − − = + =
Por lotanto la ecuación queda escrita: (x 1) (y 6) 82 2 2 − + + =
Los elementos de esta circunferencia son el centro C(1, – 6) y el radio r =82












TEOREMAS DE LA CIRCUNFERENCIA
1- TEOREMA RADIO Y TANGENTE.-
                                       Es el radio trazado al punto de  tangencia es perpendicular a la recta tangente
 
 


 
2- TEOREMA DE LAS CUERDAS PARALELAS
                                         Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas
 

 
 













3- RADIO PREPENDICULAR  A LA CUERDA
 
                            Divide en dos segmentos congruentes
 

 
 
4. CUERDAS CONGRUENTES
                            A las cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes 

 












5- DOS RECTAS TANGENTES
                        Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes
 
 

 
 
 
 
6- TANGENTES EXTERIORES
                        Son congruentes 
 
 
 
 

 
 
 
 
 


7- TANGENTES INTERIORES
                            Son congruentes 
 
  

 

Propiedades angulares en la circunferencia
Comencemos este breve estudio acerca de las propiedades angulares en la circunferencia describiendo algunos elementos básicos: 

: radio. 
: diámetro. 
: es una recta secante. 
: es una recta tangente. 
AOT: es un ángulo del centro. 
ACT: es un ángulo inscrito. 
ATQ: es un ángulo semiinscrito.
Medida angular de un arco: La medidaangular de un arco es equivalente a la medida del ángulo del centro que lo subentiende. 

Veamos a continuación una lista de propiedades angulares en la circunferencia:
i. Un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. 

ii. Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes. 

iii. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. ...