Ingeniero

CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA 3.3 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA

3.3.1

Derivada de la función logarítmica

Derivada de y = lnx Por medio de la definición de laderivada de una función f(x) como el siguiente límite:

f ' ( x) =

f ( x + h) − f ( x ) h→ 0 h lim

puede mostrarse que

d 1 (ln x) = dx x d 1 du (ln u ) = dx u dx

Y aplicando la regla de lacadena,

Ejemplo. Diferenciar y = ln (x2+1). Solución. Sea u = x2 + 1 →

dy 1 d 2 1 2x = 2 ( x + 1) = 2 (2 x) = 2 dx x + 1 dx x +1 x +1

Ejemplo. Diferenciar y = x2ln(4x+2). Solución. Empleandola regla del producto:

dy d d 2x 2  1  = x 2 [ ln(4 x + 2)] + [ ln(4 x + 2)] ( x 2 ) = x 2  + 2 x ln(4 x + 2) (4) + [ ln(4 x + 2)]( 2 x) = dx dx dx 2x + 1  4x + 2 
Derivadas de funcioneslogarítmicas con base b

Sea y = f ( x) = log b u →
Ejemplo1.

y ' = f ' ( x) =

1 du (ln b)u dx

y = f ( x) = ln 3 x − 10 . Sea u = 3 x − 10 f ' ( x) = 1 d 1 3 * (3 x − 10) = *3= (ln e)(3 x −10) dx 3x − 10 3 x − 10
Recuerde que lne = 1

CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA Ejemplo2:

y = ln 5 x 4 + 8 x − 12 . Sea u = 5 x 4 + 8 x − 12. y' = 1 d 1 20 x 3 + 8 (5 x 4 + 8 x − 12) = 4 * (20 x3 + 8) = 4 (ln e)(5 x 4 + 8 x − 12) dx 5 x + 8 x − 12 5 x + 8 x − 12

En algunos casos para derivar funciones logarítmicas es necesario aplicar previamente una o varias de las propiedades de loslogaritmos. Dichas propiedades se enuncian a continuación:

•

Logaritmo de una potencia: log b a = n log b a
n

Ejemplo1

y = ln ( 3 x − 4) = 4 ln ( 3 x − 4 ) 3 12 y' = 4 * = 3x − 4 3x − 4
4Ejemplo2:

y = f ( x) = log 7 5 5 x 3 + 6 x − 9
Apliquemos la propiedad número uno:

y = f ( x) = log 7 ( 5 x 3 + 6 x − 9 )

15

1 = log 7 (5 x 3 + 6 x − 9) 5

Ahora sí, procedemos aderivar:

y' = • •

1 15 x 2 + 6 * 3 5 ln 7 5 x + 6 x − 9 a  = log b a − log b c c

Logaritmo de un producto: log b ( ac) = log b a + log b c Logaritmo de un cociente: log b  Ejemplo1:

y...