Ingeniero

Examen Matemáticas & Estadística MBA
(Soluciones propuestas)
Segundo Semestre 2011
Profesor: Javier Scavia
1. (50 puntos) Preguntas breves.
e2x
x2
2e2x (x−1)
x3

(a) (10 puntos) Derive y =Solución: y (x) =

´ ln x
(b) (10 puntos) Integre e x dx.
´ ln x
Solución: e x dx = eln x + C .
(c) (10 puntos) Sea z (x, y ) = xye−x
i.

. Calcular:

∂2z
∂x2

Solución:
ii.

2 −y 2∂z
∂x

2 −y 2

= y (1 − 2x2 ) e−x

, luego,

∂2z
∂x2

= −2xy (3 − 2x2 ) e−x

2 −y 2

∂2z
∂x∂y

Solución:

∂2z
∂x∂y

= (1 − 2x2 ) (1 − 2y 2 ) e−x

2 −y 2

(d) (10 puntos)Encuentre los extremos de la función y (x) = ex (2x2 + x − 8),
indicando si corresponden a un máximo o a un mínimo. Compruebe las
condiciones de segundo orden.
Solución: CPO: y (x) = ex (2x2 + 5x− 7) = 0, luego los candidadtos a
7
puntos extremos son x1 = 1 y x2 = − 2 . (CSO) y (x) = ex (2x2 + 9x − 2),
de donde y (x1 ) > 0, luego es un mínimo, y (x2 ) < 0, luego es un máximo.
(e) (10puntos) Un contrato de arriendo ha subido un 2% anual durante los
tres últimos años. Calcular el valor de este arriendo que habría de pagarse
actualmente, sabiendo que hace tres años se pagaban $420 almes.
Solución: V F = 420 (1 + 0, 02)3 445, 7.
2. (30 puntos) Considere el problema de encontrar los extremos de la función
f (x, y ) = xy , sujeta a la restricción x − y = 0.
(a) (20 puntos)Construya el lagrangiano del problema y ecuentre los valores
de x e y que lo resulven.
Solución: El lagrangiano es L =xy + λ (x − y ). Las CPO’s son
Lx = y + λ = 0

(1)

Ly = x − λ = 0

(2)

Lλ =x − y = 0

(3)

Al resolver este sistema se llega a que x = y = λ = 0, por lo que el único
punto crítico es (0, 0).
1

.

(b) (10 puntos) Sin usar la condición de segundo orden (es decir,sólo
razonando), determine si el (los) punto(s) extremo(s) encotrado(s) en (a),
es (son) un máximo o un mínimo.
Solución: (0, 0) es un mínimo, pues basta tomar, por ejemplo, f (x = 1, y = 1) =...