Ingeniero

Movimiento Armónico Simple
(M.A.S.)
Ley de Newton:

k
m

F=ma
d2x
-kx = m 2
dt
ω = k/m

x
k

d2x
+ ω2x = 0 Ecuación Diferencial
dt2

F
m

Solución de la Ecuación Diferenciald2x
+ ω2x = 0
dt2
x(t) = A sen (ωt + δ)
A ... Amplitud del movimiento
ω ... Frecuencia Angular [rd/s]
δ ... Constante de Fase [rd]

x
A

T
A

t

T = 2π / ω [s]
f = 1/T [Hz]
ω = 2πf[rd/s]

d2x
La solución de
+ ω2x = 0 es: x(t) = A sen(ωt+δ)
dt2

Demostración
x(t) = A sen(ωt+δ)
dx
= Aω cos(ωt+δ)
v=
dt
d2x
dt2

= -ω2 A sen(ωt+δ) = -ω2 x(t)

de donde:

d2x
+ω2x = 0
dt2

d2x
+ ω2x = 0
Movimiento Armónico Simple:
dt2
x
t

v=

v
t
a

x(t) = A sen(ωt+δ)

v(t) = Aω cos(ωt+δ)
a=

T
t

dx
dt

dv
d2x
=2
dt
dt

a(t) = -Aω2sen(ωt+δ)

Trigonometría: sen(α + β) = sen α . cos β + sen β . cos α
x(t) = A sen(ωt+δ)
= a sen(ωt) + b cos(ωt)
a = A cosδ
b = A senδ

Α = a2 + b2

δ = arc tg (b/a)
A

x(t) = a sen(ωt) + bcos(ωt)

δ

v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt)

a

a(t) = -a ω2 sen(ωt) - b ω2 cos(ωt)

b

Condiciones Iniciales de un M.A.S.
Ejemplo 1: dados x0= x(t=0) y v(t=0) = 0
x(t) = a sen(ωt) + bcos(ωt) ... en t = 0 resulta en:
x0 = b
v(t) = a ω cos(ωt) - b ω sen(ωt) ... en t = 0 resulta en:
0=aω

a=0

luego: x(t) = x0 cos(ω t) = x0 sen(ω t + π/2)
de donde se concluye que δ = π/2
note que:δ = arc tg (b/a) = arc tg (∞) = π/2

Condiciones Iniciales de un M.A.S.
Ejemplo 2: dados x(t=0) = 0 y v(t=0) = v0
x(t) = a sen(ωt) + b cos(ωt) ... en t = 0 resulta en:
0=b
v(t) = a ω cos(ωt) - bω sen(ωt) ... en t = 0 resulta en:
v0 = a ω

a = v0 /ω

luego: x(t) = (v0 /ω) sen(ω t)
de donde se concluye que δ = 0

Análisis Energético
Energía Potencial:
U(t) = k x2(t) / 2 =

1
kA2 sen2(ωt+δ)
2

Energía Cinética:
K(t) = m

v2(t) /

1
2=
m A2 ω2 cos2(ωt+δ)
2

... y como ω = k/m
1
K(t) =
k A2 cos2(ωt+δ)
2
1
E = U(t) + K(t) = 2 k A2

E
K
U
-A

A...