Ingeniero

CALCULO I


APLICACIONES DE LAS DERIVADAS



ALGUNAS DEFINICIONES Y TEOREMAS DELAS DERIVADAS.





1.- Teorema de Rolle


2.- Teorema del Valor Medio

3.- Valor Crítico.
4.- Punto Crítico
5.- Función Monótona
5.1- Función Monótona Creciente.
5.2- Función Monótona Decreciente.
5.3- Intervalos donde la función es monótona

6.- Crecimiento y decrecimiento de unafunción.

6.1- Función Creciente.
6.2- Función Decreciente

7.- Valores Extremos Relativos


7.1- Valor Máximo Relativo


7.2- Valor Mínimo Relativo


8.- Criterio de la primera derivada para


8.1- Criterio de la primera derivada para el crecimiento y el decrecimiento de funciones.


8.2- Criterio de la primera derivada para extremos relativos.


9.-Teorema


10.- Valor de inflexión


11.- Punto de Inflexión.


12.- Criterio de la segunda derivada para extremos relativos





13.- Concavidades


13.1- Cóncava hacia arriba


13.2- Cóncava hacia abajo


14.- Criterio de la segunda derivada para determinar el tipo de Concavidad.


15.- Teorema acerca de los Puntos de inflexión.




RESUMEN PARA ELTRAZADO DE CURVAS.



1.- TEOREMA DE ROLLE

Sea f una función tal que:
i) s continua en el intervalo cerrado [a¸b];
ii) es diferenciable en el intervalo abierto (a,b);
iii) f(a) = 0 y f(b) = 0.

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que:
f ' (c) = 0

Este teorema permite obtener los valores extremos relativos de una función en un intervalo(a,b).

2.- TEOREMA DEL VALOR MEDIO


Una aplicación del teorema de Rolle es el teorema de valor medio, enunciado por primera vez por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange.

Sea f una función tal que:
• es continua en el intervalo cerrado [a¸b];
• es diferenciable en el intervalo abierto (a,b);
Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que:f(b) – f(a)
b – a
Este teorema indica que existe una recta tangente a la curva en (a,b) cuya pendiente es paralela a la pendiente de la recta que pasa por los puntos [pic] y[pic].Además, ese valor se refiere al valor medio entre los puntos [pic] y[pic].

3.- Valor Crítico o número crítico [pic]:
Definición:
Unvalor crítico o número crítico de una función, que se denota como [pic], es un número [pic]que se encuentra en el dominio de la función [pic], tal que:
• [pic], o también
• si[pic] no existe.

4.- Punto Crítico [pic]:

Todo valor crítico que se encuentre en el dominio de la función tendrá una imagen en la función [pic], y se denota como [pic] o como [pic]. Entonces unpunto crítico [pic] tendrá componentes [pic] o [pic].

5.- Función Monótona.
Una función [pic] se dice que es monótona sobre un intervalo (a,b) si para todo par de valores [pic][pic] se cumple que [pic] es solamente creciente o solamente decreciente.

5.1- Función monótona creciente
Se dice que una función es monótona creciente si resulta que para todo par de valores [pic][pic] setiene que [pic].

5.2- Función monótona decreciente
Se dice que una función es monótona decreciente si resulta que para todo par de valores [pic][pic] se tiene que [pic].

5.3- Intervalos donde la función es monótona.
A todos los intervalos que se forman al considerar el dominio de la función, en donde la función únicamente crece o únicamente decrece, se les llama intervalos donde la funciónes monótona.
Estos intervalos se obtienen a partir del dominio de la función y considerar los valores críticos: entre cada par de valores críticos adyacentes y/o algún infinito y su valor crítico adyacente.

6.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION.

6.1- FUNCIÓN CRECIENTE
Definición: Una función definida en un intervalo es CRECIENTE en ese intervalo sí y solo sí...