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Ecuaciones con Radicales

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Ecuaciones con Radicales
Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones:
Cualquier ra´ız de una ecuaci´on dada, puede ser tambi´en ra´ız de otra ecuaci´on que se obtenga al
igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuaci´on propuesta.
Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuaci´on, se obtienen valores para la inc´ognitaque
pueden resultar incorrectos para la ecuaci´on original, tales valores se llaman ra´ıces extra˜nas de la ecuaci´on.
Esto debido a que los radicales de ´ındice par presentan problemas de indefinici´on con subradicales negativos.
Para resolver una ecuaci´on que comprende radicales se efect´uan los siguientes pasos:
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembrolos dem´as t´erminos.
2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuaci´on obtenida y se igualan entre si
(depende del ´ındice de la ra´ız involucrada).
3. Si la ecuaci´on obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene
uno o m´as radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuaci´on sin radicales. Luego se
resuelve esta u´ltima ecuaci´on.
4. Se sustituyen en la ecuaci´on original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las
ra´ıces extra˜nas.
El proceso de liberar la ecuaci´on de radicales se conoce con el nombre de racionalizaci´on de la ecuaci´on.

Ejemplo 1.
Resolver:

√

x+3=4

Soluci´on.
√
( x + 3)2 = (4)2

elevando ambos miembros al cuadrado,

x+3=16

eliminando elradical con el cuadrado,

x=16-3

restando 3 a ambos lados de la ecuaci´on,

x=13

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posible soluci´on.

Prof. Waldo M´arquez Gonz´alez

Ecuaciones con Radicales

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Al sustituir x=13√en la ecuaci´on original para chequear si es una ra´ız extra˜na o no, nos
percatamos que 13 + 3=4, es correcta. Por tanto.

S = {13}
Ejemplo 2.
Resolver:

√

2x2 − 1 =xSoluci´on.
√
( 2x2 − 1)2 = (x)2

elevando ambos miembros al cuadrado,

2x2 − 1 = x2

eliminando el radical con el cuadrado,

2x2 − x2 = 1

transponiendo t´erminos,

x2 = 1

restando los coeficientes de los cuadrados

x = ±1

posibles 2 soluciones.

Si sustituimos x=− 1 en la ecuaci´on original, obtenemos
2(−1)2 − 1 = (− 1)
Claramente
se observa que el miembro derecho de estaecuaci´on no puede ser negativo,
√
1 =− 1. Se descarta − 1 por ser una ra´ız extra˜na y se acepta solamente x=1.
S = {1}
Ejemplo 3.
Resolver:

√

4x2 − 15 − 2x =-1

Soluci´on.
√

4x2 − 15 =2x-1,

despejando el radical en el lado izquierdo

Ecuaciones con Radicales

3

√
( 4x2 − 15)2 = (2x − 1)2 ,

elevando ambos miembros al cuadrado,

4x2 − 15 = (2x − 1)2 ,

eliminandoel radical con el cuadrado,

4x2 − 15 = 4x2 − 4x + 1
−15 = −4x + 1

desarrollando el binomio de la derecha
cancelando t´erminos a ambos miembros,

4x=1+15

transponiendo t´erminos,

4x=16
x= 16
4

pasando a dividir,

x=4

posible soluci´on.

Al sustituir el x=4 en la ecuaci´on original se tiene:
√
√
√
√

4 · 42 − 15 − 2 · 4 =-1
4 · 16 − 15 − 8 =-1
64 − 15 − 8 =-1
49− 8 =-1

7-8=-1. La cual es correcta, y se toma como soluci´on: S = {4}.
Ejemplo 4.
Resolver:

√

x+4+

√

x − 1 =5

Soluci´on.
√

x+4=5−

√

x−1

aislando un radical,

√
√
( x + 4)2 = (5 − x − 1)2
√
√
x + 4 = 25 − 2 · 5 x − 1 + ( x − 1)2

elevando al cuadrado,
desarrollando la segundo f´ormula

Ecuaciones con Radicales

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notable,
√
x + 4 = 25 − 10 x −1 + x − 1

haciendo c´alculos

√
x + 4 − 25 − x + 1 = −10 x − 1

transponiendo t´erminos,

√
−20 = −10 x − 1
√
20 = 10 x − 1
2=

√

x−1

√
(2)2 = ( x − 1)2

elevando al cuadrado a ambos lados,

4=x-1
x=5

posible soluci´on de la ecuaci´on.

Comprobando x=5,

√

5+4+

√

5 − 1 =5

Luego, S = {5}
Ejemplo 5.
Resolver:

√

x+7+

√

√
x − 1 − 2 x + 2...