Ingeniero

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

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Sucesiones.-

Una sucesión de números reales es una función
x:N→R
n → x (n )
que permite considerar su recorrido como una colección ordenada de números reales
x (1) , x (2) , ..., x (n) , ...
Con la notación an = x (n), la sucesión se representa
a1 , a2 , ..., an , ...
o más abreviadamente (an )n≥1 .
Se dice que la sucesión(an )n≥1 converge al número real L si se cumple
Para cada ε > 0, ∃N ∈ N tal que
∀n : n ≥ N ⇒ |an − L| < ε
Se escribe en este caso,
lim an = L

n→∞

Un resultado básico importante en relación al concepto de límite es:
Si existe L ∈ R que cumpla la condición anterior, éste es único.
Ejemplos.1
1. an = n , n ≥ 1.

2. an = (−1)n , n ≥ 1.
3. an = n, n ≥ 1.
4. an =

1.1

n
,
n+1n ≥ 1.

Teoremas sobre sucesiones.-

Teorema 1 (Algebra de sucesiones).- Si lim an = L y lim bn = M , entonces
1) lim (an + bn ) = L + M
n→∞

2) lim can = cL
n→∞

3) lim (an · bn ) = L · M
n→∞

4) lim

n→∞

an
bn

=

L
,
M

cuando M = 0.

n→∞

n→∞

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Aplicaciones del teorema.1
n→∞ n

Ejemplo 2 De lim1
2
n→∞ n

= 0 se deduce que lim

= 0 y en general, para k ∈ N

1
=0
n→∞ nk
c
lim k = 0
n→∞ n
lim

cualquiera sea la constante real c.
3n2 − 2n + 1
n→∞
4n2 + 3

Ejemplo 3 lim

3n2 − 2n + 1
n→∞ 4n3 + 3n2 − 5

Ejemplo 4 lim

También se puede probar el siguiente
√
√
Teorema 5 lim an = L, L > 0 ⇒ lim an = L.
Dem. Sea ε > 0.
√
√
Se debe encontrar N ∈ N tal que ∀n : n≥ N ⇒ an − L < ε.
Como
√
√
√
√
an + L
√
√
√
an − L =
an − L √
an + L
=
≤

an − L
√
√
an + L
|an − L|
√
L

√
elejimos N ∈ N tal que ∀n : n ≥ N ⇒ |an − L| < ε L (aplicamos la hipótesis a
√
ε L > 0). Luego,
∀n : n ≥ N ⇒

√
√
|an − L|
an − L ≤ √
0. Como L − ε no es una cota superior del conjunto considerado ∃N ∈ N
tal que
L − ε < aN ≤ L
y luego

∀n : n ≥ N ⇒ L − ε< aN ≤ an ≤ L
⇒ |an − L| < ε

n

1
Por ejemplo, SE PUEDE PROBAR que la sucesión an = 1 + n
, n ≥ 1 es
monótona creciente y acotada por M = 3, luego es convergente.
Con una calculadora obtenga los 100 primeros términos de esta sucesión y dé
una conjetura para
n
1
lim 1 +
n→∞
n
Observación.- El teorema se puede enunciar para una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente.Una situación importante, que a veces ocurre con las sucesiones divergentes, se
describe en la siguiente definición
Definición 11 lim an = +∞ (la sucesión diverge a +∞) si y sólo si
n→∞

dado K > 0, ∃N ∈ N tal que
∀n : n ≥ N ⇒ an > K
Por ejemplo, lim n = +∞, lim 2n = +∞.
n→∞

n→∞

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Series.-

Introducción
El conceptode serie nos permitirá considerar sumas de infinitos términos y
en ciertas condiciones operar con ellas como si fueran sumas ”ordinarias” con una
cantidad finita de sumandos. El problema de precisar una definición de este tipo
presenta ciertas dificultades como se muestra a continuación:
La suma
1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 + (−1) + ....
puede ser interpretada al menos de dos maneras
(1 − 1) + (1 −1) + (1 − 1) + ... = 0
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1
Por otra parte la suma
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
con infinitos sumandos todos iguales a 1 no puede tener tener un valor finito. Es
intuitivamente claro que cualquier número real es sobrepasado por la suma de una
cantidad finita de estos términos.
Para evitar estas ambiguedades es necesario definir una noción que asigne unnúmero real (valor finito) a una suma de infinitos términos, cuando esto sea posible.
Comencemos tomando los infinitos sumandos como los términos de una sucesión
de números reales a1, a2, a3, ......., an, ...y veamos de que manera definir la suma
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

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Definicion de serie y convergencia

Definición 12 Sea...