Ingeniero

ELABORACION DE MODELOS MATEMATICOS
 
Los modelos y la realidad estan relacionados a traves de dos procesos: la abstra-
ccion y la interpretacon. El primero de ellos nos obliga a encontrar cuales son los
elementos mas importantes del problema y cuales son los accesorios. Para saber si
un elemento es o no importante tendremos que ver su efecto relativo en la evolucion
del sistema. En cuanto ala interpretacion, debemos de entenderla como la manera
en que las componentes del modelo (parametros, variables) y su comportamiento
pueden estar relacionadas con las componentes, caractersticas y comportamiento
del sistema real que queremos modelar.
Por tanto, la primera de las fases necesaria para construir un modelo matematico es
la abstraccion, para ello tenemos que establecer ciertashipotesis, definir las variables
y desarrollar las matematicas adecuadas para poder resolver el problema. La fase
siguiente es tratar de simplificar las herramientas matematicas utilizadas. Los resul-
tados que se deducen del modelo matematico nos deberan llevar a poder efectuar
algunas predicciones sobre el mundo real. El paso siguiente sera recoger datos de
la situacion de la que se haextraido el modelo y compararlos con las predicciones.1.2 Elaboracion de modelos matematicos 3
Si no coinciden, los datos que ya poseemos nos pueden servir para modificar las
hipotesis. Si las predicciones coinciden con la realidad, entonces las hipotesis son
correctas y tambien lo son las variables definidas. En caso contrario, si se observan
discrepancias sera necesario construir otro modelo masaproximado y confiable. Como
podemos ver, la creacion de un modelo matematico es un proceso progresivo.
A continuacion expondremos mas detenidamente los pasos que debemos seguir para
construir un modelo matematico.
1. Se debe empezar formulando las siguientes preguntas:
>Cual es la informacion que realmente necesitamos?
>A que se reduce ahora el problema?
2. Descripcion cualitativadel modelo.
Se debe iniciar por el m¶as simple que describa el comportamiento bio-
biologico del sistema.
Ver si los resultados que nos aporta el modelo dan respuesta a las pre-
guntas planteadas.
3. Descripcion cuantitativa del modelo.
Tenemos que de¯nir las variables y ver la manera en que est¶an rela-
cionadas.
Debemos de¯nir los parametros del modelo, y asegurarnos de que cualquier
otroparametro es redundante.
4. Introduccion de las ecuaciones del modelo.
Se escriben las ecuaciones, con la ayuda de un diagrama o de una tabla.
5. Analisis de las ecuaciones.
Debemos comprobar que su analisis da respuesta a las cuestiones planteadas.
Se encuentra la solucion general.
6. Volver a examinar las hipotesis.
Se intenta simplificar el modelo.
Si nuestro modelo no responde a laspreguntas iniciales, debemos volver
a los pasos (3), (4) y (5).
7. Relacionar los resultados encontrados con hechos conocidos.
>Se ha contestado al aspecto biologico?
>Estan los resultados de acuerdo con la intuicion?4 Tema 1 Modelos matematicos
>Confirman los datos o los experimentos dichos resultados?
A continuacion utilizaremos un ejemplo elemental, en concreto la evolucion de uncultivo de cierto tipo de celulas, para construir un modelo matematico.
Descripcion del fenomeno real y objetivos del modelo. Para conocer
como evoluciona el cultivo realizamos diversos experimentos y observamos un
rapido crecimiento de la poblacion. El tipo de preguntas que podemos hacer
son las siguientes: >como varia el numero de celulas con el tiempo?, >que tipo
de variablesinfluyen en su desarrollo?.
Eleccion de variables. En la fase de experimentacion se ha podido observar
que la celula crece, se divide en dos y cada una de ellas inicia de nuevo el proceso
de crecimiento. Se detecta ademas que el tiempo necesario para que crezca una
celula y se duplique es aproximadamente 20 minutos. Por tanto, el tiempo de
vida de una celula, podemos considerarlo como una...